2013_新课标I卷
5．（5分）已知命题p：∀x∈R， $2 ^ { x } < 3 ^ { x }$ ；命题q：∃x∈R， $\mathsf { x } ^ { 3 } { = } 1 - \mathsf { x } ^ { 2 }$ ，则下列命题中为真命题的是（ ）A．p∧q B $\neg p \land { \mathsf { q } }$ C ${ \mathsf { p } } \Lambda ^ { - } { \mathsf { q } }$ D $\neg { \mathsf { p } } \wedge \neg{ \mathsf { q } }$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】2E：复合命题及其真假
【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑
【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f $( x ) = x ^ { 3 + }$ $\mathsf { x } ^ { 2 } - 1$ ，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案
【解答】解：因为 $\mathbf { \nabla } \times = - \mathbf { \nabla } 1$ 时， $2 ^ { - 1 } { > } 3 ^ { - 1 }$ ，所以命题p：∀x∈R， $2 ^ { x } < 3 ^ { x }$ 为假命题，则$\overline { { \mathsf { \Gamma } } } \mathsf { p } .$ 为真命题
令f $( \mathsf { x } ) = \mathsf { x } ^ { 3 } + \mathsf { x } ^ { 2 } - 1$ ，因为f $( 0 ) \ = - \ 1 { < } 0 , \ \textsf { f } \ ( \ 1 ) \ = 1 { > } 0$ ．所以函数f $( \mathsf { x } ) = \mathsf { x } ^ { 3 } + \mathsf { x } ^ { 2 }$ ﹣1在（0，1）上存在零点，
即命题q：∃x∈R， $\mathsf { x } ^ { 3 } { = } 1 \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { x } ^ { 2 }$ 为真命题
则 $\neg p \land { \mathsf { q } }$ 为真命题
故选：B
【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题