2014_浙江卷 (2014·理)
18．（本题满分 14 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ．已知 $a \neq b, c=\sqrt{3}$
$\cos ^{2} A-\cos ^{2} B=\sqrt{3} \sin A \cos A-\sqrt{3} \sin B \cos B$
（I）求角C的大小；
（II）若 $\sin A=\frac{4}{5}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积．
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】：（I）由题得 $\frac{1+\cos 2 A}{2}-\frac{1+\cos 2 B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 A-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 B$ ，
即 $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 A-\frac{1}{2} \cos 2 A=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 B-\frac{1}{2} \cos 2 B$
$\sin \left(2 A-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(2 B-\frac{\pi}{6}\right)$
由 $a \neq b$ 得 $A \neq B$ ，又 $A+B \in(0, \pi)$ ，得 $2 A-\frac{\pi}{6}+2 \mathrm{~B}-\frac{\pi}{6}=\pi$
即 $A+B=\frac{2 \pi}{3}$ ，所以 $C=\frac{\pi}{3}$
（II）$c=\sqrt{3}, \sin A=\frac{4}{5}, \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin \mathrm{C}}$ ，得 $a=\frac{8}{5}$
由 $a<c$ 得 $A<C$ ，从而 $\cos A=\frac{3}{5}$ 故 $\sin B=\sin (A+C)= \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{4+3 \sqrt{3}}{10}$
所以，$\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $S=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{8 \sqrt{3}+18}{25}$