2017_北京卷
15．（13分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和等比数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $a _ { 1 } = b _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { a } _ { 2 } + \mathsf { a } _ { 4 } = 1 0 , ~ \mathsf { b } _ { 2 } \mathsf { b } _ { 4 } = \mathsf { a } _ { 5 }$ （Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求和： $\mathsf { b } _ { 1 } { + } \mathsf { b } _ { 3 } { + } \mathsf { b } _ { 5 } { + } . . . ^ { + } \mathsf { b } _ { 2 \mathsf { n } - 1 }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可
【解答】解：（Ⅰ）等差数列 $\{ { \sf a } _ { \mathfrak { n } } \} , { \sf a } _ { 1 } { = } 1 , { \sf a } _ { 2 } { + } { \sf a } _ { 4 } { = } 1 0$ ，可得： $1 + \mathsf { d } + 1 + 3 \mathsf { d } = 1 0$ ，解得d=2，
所以 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式： $a _ { n } = 1 + ( n - 1 ) \times 2 = 2 n - 1$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 $a _ { 5 } = a _ { 1 } + 4 d = 9$
等比数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $\mathsf { b } _ { 1 } { = } 1 , \mathsf { b } _ { 2 } \mathsf { b } _ { 4 } { = } 9$ ．可得 $b _ { 3 } = 3$ ，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）
∴q<sup>2</sup>=3，
$\{ \mathsf { b } _ { 2 \mathsf { n } - 1 } \}$ 是等比数列，公比为3，首项为1
$$ b _ { 1 } + b _ { 3 } + b _ { 5 } + \ldots + b _ { 2 n - 1 } = \frac { 1 ( 1 - q ^ { 2 n } ) } { 1 - q ^ { 2 } } = \frac { 3 ^ { n } - 1 } { 2 } . $$
【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力