（12分）（2009•陕西）已知函数f ( x ) = x…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【分析】（1）先确求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式 $ { \mathbf { f } } ^ { \prime } \left( { \mathbf { x } } \right) > 0$ 和fˊ $\mathbf { \rho } ( \mathbf { x } ) < 0 , \ \mathbf { f }$ （x）＞0的区间是增区间， $\textbf { f } \left( \mathbf { x } \right) < 0$ 的区间是减区间

（2）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围

【解答】解析：（1） ${ \textbf { f } } ( { \textbf { x } } ) = 3 { \textbf { x } } ^ { 2 } - 3 { \textbf { a } } = 3 ( { \textbf { x } } ^ { 2 } - { \textbf { a } } )$

当 $\vert \mathbf { a } < 0 \mathbb { H } \vert$ ，对x∈R，有 $ { \mathbf { f } } ^ { \prime } \left( { \mathbf { x } } \right) > 0$

当a＜0时，f（x）的单调增区间为 $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } + \infty )$

当a＞0时，由 $\textbf { f } \left( \mathbf { x } \right) > 0$ 解得 $\mathbf { x } { < } - \sqrt { \mathsf { a } } \equiv \bar { \mathsf { x } } \mathbf { x } { > } \sqrt { \mathsf { a } } ;$

由f′（x）＜0解得 $- \sqrt { \mathsf { a } } < \mathbf { x } < \sqrt { \mathsf { a } } ,$

当a＞0时，f（x）的单调增区间为 $( \ \mathrm { - } \infty , \ \mathrm { - } \ \sqrt { \mathsf { a } } ) , ( \sqrt { \mathsf { a } } , \ \mathrm { + } \infty )$

f（x）的单调减区间为 $( { \bf - \sqrt { a } } , { \bf \sqrt { a } } )$

（2）因为f（x）在x=﹣1处取得极大值，

所以 $\texttt { P ( - 1 ) } = 3 \times ( \texttt { - 1 } ) \texttt { 2 - 3 a = 0 , } \mathrel { \mathop { : } } \mathrm { a = 1 }$

所以f $\mathbf { \bar { \rho } } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { x } ^ { 3 } - 3 \mathbf { x } - 1 , \mathbf { f } ^ { \prime } \mathbf { \rho } ( \mathbf { x } ) = 3 \mathbf { x } ^ { 2 } - 3$

由f′（x）=0解得 $\mathbf { x } _ { 1 } = - \mathbf { \nabla } 1 , \mathbf { x } _ { 2 } { = } 1$

由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，

在x=1处取得极小值f（1）=﹣3

因为直线y=m与函数 $\mathbf { \partial } _ { \cdot } \mathbf { y } { = } \mathbf { f } \mathbf { \partial } \left( \mathbf { x } \right)$ 的图象有三个不同的交点，

结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题