（13分）（2011•北京）已知函数 f(x)=4 cos…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．
【专题】三角函数的图像与性质。
【分析】（I）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（II）利用 x 的范围确定 $2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{6}$ 的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值。
【解答】解：（I）$\because f(x)=4 \cos x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1$ ，

$=4 \cos \mathrm{x}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \mathrm{x}+\frac{1}{2} \cos \mathrm{x}\right)-1$
$=\sqrt{3} \sin 2 \mathrm{x}+2 \cos ^{2} \mathrm{x}-1$
$=\sqrt{3} \sin 2 \mathrm{x}+\cos 2 \mathrm{x}$
$=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ，
所以函数的最小正周期为 $\pi$ ；
（II）$\because-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ ，
$\therefore-\frac{\pi}{6} \leq 2 x+\frac{\pi}{6} \leq \frac{2 \pi}{3}$,
∴ 当 $2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ ，即 $\mathrm{x}=\frac{\pi}{6}$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 取最大值 2 ，
当 $2 x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}$ 时，即 $x=-\frac{\pi}{6}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 -1 ．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理。