在长方体 A B C D - A _ 1 B _ 1 C…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出

【详解】如图所示：

不妨设 $A B = a , A D = b , A A _ { 1 } = c$ ，依题以及长方体的结构特征可知， $B _ { 1 } D$ 与平面ABCD所成角为$\angle B _ { 1 } D B , B _ { 1 } D$ 与平面 $A A _ { 1 } B _ { 1 } B$ 所成角为 $\angle D B _ { 1 } A$ ，所以 $\sin 3 0 ^ { \circ } = \frac { c } { B _ { 1 } D } = \frac { b } { B _ { 1 } D }$ ，即 $b = c$ $B _ { 1 } D = 2 c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }$ ，解得 $a = \sqrt { 2 } c$

对于 A， AB a= ， AD b= ， $A B = \sqrt { 2 } A D$ ，A 错误；

对于B，过B作 $B E \bot A B _ { 1 }$ 于 E，易知 $B E \bot$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 } D$ ，所以AB与平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 } D$ 所成角为 $\angle B A E$ 因为 $\tan \angle B A E = { \frac { c } { a } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ ，所以 $\angle B A E = 3 0 ^ { \circ }$ ，B 错误；

对于C， $A C = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } c$ $C B _ { 1 } = \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } c$ $A C \neq C B _ { 1 }$ ，C错误；对于D， $B _ { 1 } D$ 与平面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 所成角为 $\angle D B _ { 1 } C$ $\sin \angle D B _ { 1 } C = \frac { C D } { B _ { 1 } D } = \frac { a } { 2 c } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，而$0 < \angle D B _ { 1 } C < 9 0 ^ { \circ }$ ，所以 $\angle D B _ { 1 } C = 4 5 ^ { \circ }$ ．D 正确
故选：D