2021_新课标II卷
18. 在 $\triangle A B C$ 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c， $b = a + 1$ $c = a + 2$
（1）若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 $\triangle A B C$ 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由
(1) $\frac { 1 5 { \sqrt { 7 } } } { 4 }$; (2) 存在，且 $a = 2$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $\frac { 1 5 { \sqrt { 7 } } } { 4 }$ ；（2）存在，且 $a = 2$
【解析】
【分析】①由正弦定理可得出 $2 c = 3 a$ ，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角C为钝角，由 $\cos C < 0$ 结合三角形三边关系可求得整数a的值.
【详解】（1）因为 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，则 $2 c = 2 { \bigl ( } a + 2 { \bigr ) } = 3 a$ ，则 $a = 4$ ，故b = 5， $c = 6$
$\cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } } = { \frac { 1 } { 8 } }$ ，所以，C为锐角，则 $\sin C = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } C } } = { \frac { 3 { \sqrt { 7 } } } { 8 } }$
因此， $S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } a b \sin C = \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times 5 \times \frac { 3 \sqrt { 7 } } { 8 } = \frac { 1 5 \sqrt { 7 } } { 4 }$
（2）显然 $c > b > a$ ，若 $\triangle A B C$ 为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得 $\cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } } = { \frac { a ^ { 2 } + { \bigl ( } a + 1 { \bigr ) } ^ { 2 } - { \bigl ( } a + 2 { \bigr ) } ^ { 2 } } { 2 a { \bigl ( } a + 1 { \bigr ) } } } = { \frac { a ^ { 2 } - 2 a - 3 } { 2 a { \bigl ( } a + 1 { \bigr ) } } } < 0 \ ,$
解得 $- 1 < a < 3$ ，则 $0 < a < 3$
由三角形三边关系可得 $a + a + 1 > a + 2$ ，可得 $a > 1 , ~ \because a \in Z$ ，故 $a = 2$