2011 全国高考数学 2011_退役省自主命题 (2011·文) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（本小题满分14分）
设 $f(x)=\ln x, g(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$ ．
（1）求 $g(x)$ 的单调区间和最小值；

（2）讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系；
（3）求 $a$ 的取值范围，使得 $g(a)-g(x)<\frac{1}{a}$ 对任意 $x>0$ 成立．

Accepted Answer

【分析】（1）先求出原函数 $f(x)$ ，再求得 $g(x)$ ，然后利用导数判断函数的单调性 （单调区间），并求出最小值；②作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；③对任意 $x>0$ 成立的恒成立问题转化为函数 $g(x)$ 的最小值问题． 【解】①由题设知 $f(x)=\ln x, g(x)=\ln x+\frac{1}{x}$ ， $	herefore g^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x^{2}}$ ，令 $g^{\prime}(x)=0$ 得 $x=1$ ， 当 $x \in(0,1)$ 时，$g^{\prime}(x) 0, g(x)$ 是增函数，故 $(1,+\infty)$ 是 $g(x)$ 的单调递增区间， 因此，$x=1$ 是 $g(x)$ 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以 $g(x)$ 的最小值为 $g(1)=1$ ． ②$g\left(\frac{1}{x}ight)=-\ln x+x$ 设 $h(x)=g(x)-g\left(\frac{1}{x}ight)=\ln x-x+\frac{1}{x}$ ，则 $h^{\prime}(x)=-\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}$ ， 当 $x=1$ 时，$h(1)=0$ ，即 $g(x)=g\left(\frac{1}{x}ight)$ ， 当 $x \in(0,1) \cup(1,+\infty)$ 时，$h^{\prime}(x) h(1)=0$ 即 $g(x) 0$ ，成立 $\Leftrightarrow g(a)-1<\frac{1}{a}$, 即 Ina $<1$ ，从而得 $0<a<e$ 。

2011 高考数学第 19 题答案解析

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