（5分）已知F是抛物线C： y ^ 2 = 4 x 的焦点…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】设A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$ ，则 $\scriptstyle \mathbf { y } _ { 1 } ^ { 2 } = 4 \mathbf { x } _ { 1 } , \quad \mathbf { y } _ { 2 } ^ { 2 } = 4 \mathbf { x } _ { 2 }$ ，两式相减可得：$( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = 4 ( x _ { 1 } - x _ { 2 } )$ ，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得 $\mathbf { \cdot k _ { A } }$ ，可得直线AB的方程为： $y - 2 = x - 2$ ，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案

【解答】解：∵F是抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点， $\therefore { \mathsf { F } } \left( 1 , \ 0 \right)$

设A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$ ，则 $\scriptstyle \mathbf { y } _ { 1 } ^ { 2 } = 4 \mathbf { x } _ { 1 } , \quad \mathbf { y } _ { 2 } ^ { 2 } = 4 \mathbf { x } _ { 2 }$

两式相减可得： $( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = 4 ( x _ { 1 } - x _ { 2 } )$

∵线段AB的中点为M（2，2）， $\therefore y _ { 1 } + y _ { 2 } = 2 \times 2 = 4$

$$ \scriptstyle \bigtriangledown _ { \vec { \mathbf { x } } _ { 1 } - \vec { \mathbf { x } } _ { 2 } } = \mathsf { k } _ { \mathsf { A B } } , $$

$4 k _ { A B } = 4$ ，解得 $\mathsf { k } _ { \mathsf { A B } } = 1$

$\therefore$ 直线AB的方程为： $y - 2 = x - 2$ ，化为 $y = x$

联立 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { y } = \mathbf { x } } \\ { \mathbf { y } ^ { 2 } = 4 \mathbf { x } } \end{array} \right. }$ ，解得 $\scriptstyle \left\{ \begin{array} { l } { \mathbf { x } = 0 } \\ { \mathbf { y } = 0 } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l } { \mathbf { x } = 4 } \\ { \mathbf { y } = 4 } \end{array} \right. ,$

$$ \therefore \mid \mathsf { A B } \mid = \sqrt { { \textstyle 4 } ^ { 2 } + { \tt 4 } ^ { 2 } } = 4 \sqrt { 2 } . $$

点F到直线AB的距离 $\mathsf { d } { = } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } }$

$$ \therefore S _ { \Delta \mathsf { A B F } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left| \mathsf { A B } \right| \cdot \mathsf { d } = { \frac { 1 } { 2 } } \times 4 { \sqrt { 2 } } \times { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } = 2 , $$

故答案为：2

【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题、“点差法”、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题