已知双曲线 C : x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ ## ${ \frac { 3 } { 5 } } { \sqrt { 5 } }$

【解析】

**方法一**：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 $\left| A F _ { 2 } \right| , \left| B F _ { 2 } \right| , \left| B F _ { 1 } \right| , \left| A F _ { 1 } \right|$ _关于a m, _{的表达式，}从而利用勾股定理求得a m= ，进而利用余弦定理得到a c, 的齐次方程，从而得解.

**方法二**：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 $x _ { 0 } = \frac { 5 } { 3 } c , y _ { 0 } = - \frac { 2 } { 3 } t , t ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 }$ ，将点A代入双曲线C得到关于 $^ { a , b , c }$ 的齐次方程，从而得解；

**方法一**：

依题意，设 $\left| A F _ { 2 } \right| = 2 m$ ，则 $\vert B F _ { 2 } \vert = 3 m = \vert B F _ { 1 } \vert , \vert A F _ { 1 } \vert = 2 a + 2 m$

在 $\mathrm { R t } _ { \triangle A B F _ { 1 } }$ 中， $9 m ^ { 2 } + ( 2 a + 2 m ) ^ { 2 } = 2 5 m ^ { 2 }$ ，则 $( a + 3 m ) ( a - m ) = 0$ ，故 a m= 或 $a = - 3 m$ （舍去），

所以 $\left| A F _ { 1 } \right| = 4 a , \left| A F _ { 2 } \right| = 2 a \ , \ \left| B F _ { 2 } \right| = \left| B F _ { 1 } \right| = 3 a$ ，则 $\vert A B \vert = 5 a$

故 $\cos \angle F _ { 1 } A F _ { 2 } = \frac { \left| A F _ { 1 } \right| } { \left| A B \right| } = \frac { 4 a } { 5 a } = \frac { 4 } { 5 }$

所以在 $\triangle A F _ { 1 } F _ { 2 }$ 中， $\cos \angle F _ { 1 } A F _ { 2 } = \frac { 1 6 a ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } } { 2 \times 4 a \times 2 a } = \frac { 4 } { 5 }$ ，整理得 $5 c ^ { 2 } = 9 a ^ { 2 }$

故 $e = { \frac { c } { a } } = { \frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

**方法二**：

依题意，得 $F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$ ，令 $A \big ( x _ { 0 } , y _ { 0 } \big ) , B ( 0 , t )$

因为 $\overrightarrow { F _ { 2 } A } = - \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { F _ { 2 } B }$ ，所以 $\big ( x _ { 0 } - c , y _ { 0 } \big ) = - \frac { 2 } { 3 } \big ( - c , t \big )$ ，则 $x _ { 0 } = \frac { 5 } { 3 } c , y _ { 0 } = - \frac { 2 } { 3 } t$

又 $\overrightarrow { F _ { 1 } A } \perp \overrightarrow { F _ { 1 } B }$ ，所以 ${ \overrightarrow { F _ { 1 } A } } \cdot { \overrightarrow { F _ { 1 } B } } = \left( { \frac { 8 } { 3 } } c , - { \frac { 2 } { 3 } } t \right) \left( c , t \right) = { \frac { 8 } { 3 } } c ^ { 2 } - { \frac { 2 } { 3 } } t ^ { 2 } = 0$ ，则 $t ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 }$

又点A C上，则在 $\frac { \frac { 2 5 } { 9 } c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { \frac { 4 } { 9 } t ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，整理得 $\frac { 2 5 c ^ { 2 } } { 9 a ^ { 2 } } - \frac { 4 t ^ { 2 } } { 9 b ^ { 2 } } = 1$ ，则 $\frac { 2 5 c ^ { 2 } } { 9 a ^ { 2 } } - \frac { 1 6 c ^ { 2 } } { 9 b ^ { 2 } } = 1$

所以 $2 5 c ^ { 2 } b ^ { 2 } - 1 6 c ^ { 2 } a ^ { 2 } = 9 a ^ { 2 } b ^ { 2 }$ ，即 $2 5 c ^ { 2 } \left( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) - 1 6 a ^ { 2 } c ^ { 2 } = 9 a ^ { 2 } \left( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right)$

整理得 $2 5 c ^ { 4 } - 5 0 c ^ { 2 } + 9 a ^ { 4 } = 0$ ，则 $\Big ( 5 c ^ { 2 } - 9 a ^ { 2 } \Big ) \Big ( 5 c ^ { 2 } - a ^ { 2 } \Big ) = 0$ ，解得 $5 c ^ { 2 } = 9 a ^ { 2 }$ 或 $5 c ^ { 2 } = a ^ { 2 }$

又 $e > 1$ ，所以 $e = { \frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$ 或 $e = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$ （舍去），故 $e = { \frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

故答案为： $\frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于a b c, , 的齐次方程，从而得解.