（本题满分12分） 在 A B C 中，角A,B,C所对的…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为角)，结合诱导公式进行证明；(Ⅱ)从已知式可以看出首先利用余弦定理解出 $\cos A = \frac { 3 } { 5 }$ ，再根据平方关系解出sinA，代入（I）中等式 $\sin A \sin B = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ ，解出 tanB的值

试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设 ${ \frac { a } { \sin A } } = { \frac { b } { \sin B } } = { \frac { c } { \sin C } } = k ( k > 0 )$

$$ a { = } k \sin { \cal A } , b { = } k \sin { \cal B } , c { = } k \sin { \cal C } . $$

代入 ${ \frac { \cos A } { a } } { + } { \frac { \cos B } { b } } { = } { \frac { \sin C } { c } }$ 中，有

$\frac { \cos A } { k \sin A } + \frac { \cos B } { k \sin B } = \frac { \sin C } { k \sin C }$ ，变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)

在 $\triangle A B C$ 中，由 $A { + } B { + } C { = } \pi$ ，有 $\sin ( A + B ) { = } \sin ( \pi { - } C ) { = } \sin \ C$

所以 $\sin A \sin B { = } \sin C .$

（Ⅱ）由已知， $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = \frac { 6 } { 5 } b c$ ，根据余弦定理，有
$\cos A = { \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } } = { \frac { 3 } { 5 } } .$
所以 $\sin A = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } A } } = { \frac { 4 } { 5 } }$
由（Ⅰ）， $\sin A \sin B { = } \sin A \cos B { + } \cos A \sin B ,$
所以 ${ \frac { 4 } { 5 } } \sin B = { \frac { 4 } { 5 } } \cos B + { \frac { 3 } { 5 } } \sin B$
故 $\tan B = { \frac { \sin B } { \cos B } } = 4$

考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.

【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为 $1 8 0 ^ { \circ }$ 这个结论，否则难以得出结论