若斜率为 3 _的直线与y<sub>轴…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】 $\sqrt { 3 }$

【解析】

【分析】设直线 $A B$ 方程为的 $y = \sqrt { 3 } x + b$ ，则点 $A { \big ( } 0 , b { \big ) }$ ，利用直线 $A B$ 与圆$x ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 1$ 相切求出b的值，求出 $| A C |$ ，利用勾股定理可求得 $\left| A B \right|$

【详解】设直线 $A B$ 的方程为 $y = \sqrt { 3 } x + b$ ，则点 $A { \big ( } 0 , b { \big ) }$ ，

由于直线AB 与圆 $x ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 1$ 相切，且圆心为 $C \big ( 0 , 1 \big )$ ，半径为1，

则 ${ \frac { \left| b - 1 \right| } { 2 } } = 1$ ，解得b = -1或 $b = 3$ ，所以 $\left| A C \right| = 2$

因为 $\left| B C \right| = 1$ ，故 $\left| A B \right| = \sqrt { \left| A C \right| ^ { 2 } - \left| B C \right| ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$

故答案为： $\sqrt { 3 }$