（5分）在 A B C 中， B = 6 0 ^ A C…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【考点】HR：余弦定理

【专题】11：计算题；16：压轴题

【分析】设 $A B = C$

AC=b

$\mathsf { B C } \mathsf { = a }$ 利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设 $\cot 2 a = m$ 代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得

【解答】解：设 $\scriptstyle \mathsf { A B } = \mathsf { c } \mathsf { A C } = \mathsf { b } \ \mathsf { B C } = \mathsf { a }$

由余弦定理

$$ \cos B = \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } $$

所以 $\mathtt { a } ^ { 2 } + \mathtt { c } ^ { 2 } \mathtt { - a } \mathtt { c } = \mathtt { b } ^ { 2 } = 3$

设 $c + 2 a = m$

代入上式得

$$ 7 a ^ { 2 } - 5 a \mathsf { m } + \mathsf { m } ^ { 2 } - 3 = 0 $$

$\triangle { = } 8 4 - 3 { \mathrm { m } } ^ { 2 } { \geq } 0$ 故 $\scriptstyle \mathbf { m } \leq 2 { \sqrt { \tau } }$

当 $m = 2 \sqrt { 7 }$ 时，此时 $\mathsf { a } { = } \frac { 5 \sqrt { 7 } } { 7 }$ $c = \frac { 4 \sqrt { 7 } } { 7 }$ 符合题意

因此最大值为 $J 2 \sqrt { 7 }$

另解：因为 $\mathsf { B } = 6 0 ^ { \circ } , \mathsf { A } + \mathsf { B } + \mathsf { C } = 1 8 0 ^ { \circ }$ ，所以 $\mathsf { A } ^ { + } \mathsf { C } { = } 1 2 0 ^ { \circ }$

由正弦定理，有

$$ \frac { A B } { \sin C } = \frac { B C } { \sin A } = \frac { A C } { \sin B } = \frac { \sqrt { 3 } } { \sin 6 0 ^ { \circ } } = 2 , $$

所以 $\mathsf { A B } = 2 \mathsf { s i n c } , \mathsf { B C } = 2 \mathsf { s i n A }$

所以 $, A B + 2 B C = 2 \sin C + 4 \sin A = 2 \sin ( 1 2 0 ^ { \circ } - A )$ +4sinA

$$ \mathbf { \Sigma } = 2 ( \mathsf { s i n 1 2 0 ^ { \circ } c o s A - c o s 1 2 0 ^ { \circ } s i n A } ) \mathbf { \Sigma } + \mathbf { 4 } \mathsf { s i n A } $$

$$ = \sqrt { 3 } \cos A + 5 \sin A $$

$= 2 \sqrt { 7 } \sin ( A + \Phi )$ ，（其中 $\sin \Phi = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \sqrt { 7 } } , \cos \Phi = \frac { 5 } { 2 \sqrt { 7 } } )$

所以 $A B + 2 B C$ 的最大值为 $\scriptstyle 1 2 { \sqrt { 7 } }$

故答案为： $2 \sqrt { 7 }$

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用