已知曲线 C : m x ^ 2 + n y ^ 2 =…——2020 高考数学第 9 题答案解析

【答案】ACD

【解析】

【分析】

结合选项进行逐项分析求解， $m > n > 0$ 时表示椭圆， $m = n > 0$ 时表示圆， $m n < 0$ 时表示双曲线，$m = 0 , n > 0$ 时表示两条直线.

【详解】对于A，若 $m > n > 0$ ，则 $m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$ 可化为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { \frac { 1 } { m } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { \frac { 1 } { n } } } = 1$

因为 $m > n > 0$ ，所以 $\frac { 1 } { m } < \frac { 1 } { n }$

即曲线C表示焦点在^y轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若 $m = n > 0$ ，则 $m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$ 可化为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } }$

此时曲线C表示圆心在原点，半径为 $\frac { \sqrt { n } } { n }$ 的圆，故B不正确；

对 $\operatorname { \mathcal { F } C }$ ，若 $m n < 0$ ，则 $m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$ 可化为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { \frac { 1 } { m } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { \frac { 1 } { n } } } = 1$

此时曲线C表示双曲线，

由 $m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 0$ 可得 $y = \pm { \sqrt { - { \frac { m } { n } } } } x$ ，故C正确；

对于D，若 $m = 0 , n > 0$ ，则 $m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$ 可化为 $y ^ { 2 } = \frac { 1 } { n }$

$y = \pm { \frac { \sqrt { n } } { n } }$ ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.