（本小题共14分） 如图，在四面体 P A B C 中，…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（共14分）
证明：（I）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以 $\mathrm{DE} / / \mathrm{PC}$ 。
又因为 $\mathrm{DE} \not \subset$ 平面 BCP ，
所以 $\mathrm{DE} / /$ 平面 BCP 。
（II）因为 $D, E, F, G$ 分别为
$\mathrm{AP}, \mathrm{AC}, \mathrm{BC}, \mathrm{PB}$ 的中点，
所以 $\mathrm{DE} / / \mathrm{PC} / / \mathrm{FG}, \mathrm{DG} / / \mathrm{AB} / / \mathrm{EF}$ 。
所以四边形 DEFG 为平行四边形，
又因为 $P C \perp A B$ ，
所以DE $\perp \mathrm{DG}$ ，
所以四边形DEFG为矩形。

（III）存在点 Q 满足条件，理由如下：
连接 $\mathrm{DF}, \mathrm{EG}$ ，设 Q 为 EG 的中点
由（II）知，$D F \cap E G=Q$ ，且 $Q D=Q E=Q F=Q G=\frac{1}{2} E G$ 。
分别取 $P C, A B$ 的中点 $M, N$ ，连接 $M E, E N, N G, M G, M N$ 。
与（II）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
且 $Q M=Q N=\frac{1}{2} E G$ ，
所以 Q 为满足条件的点．