2011 北京卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $\mathrm{U}=\mathrm{R}$ ，集合 $\mathrm{P}=\left\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}^{2} \leq 1\right\}$ ，那么 $\complement_{U} P=$

2．复数 $\frac{i-2}{1+2 i}=$

3．如果 $\log _{\frac{1}{2}} x<\log _{\frac{1}{2}} y<0$ ，那么

4．若 p 是真命题， q 是假命题，则

5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是

6．执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2 ，则输入的 P 值为

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 $\frac{x}{8}$ 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

8．已知点 $A(0,2), B(2,0)$ ．若点 $C$ 在函数 $y x$ 的图像上，则使得 $\triangle A B C$ 的面积为 2 的点 $C$ 的个数为

9．在 $\triangle A B C$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \angle B=\frac{\pi}{4}, \sin \mathrm{~A}=\frac{1}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ．

10．已知双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一条渐近线的方程为 $y=2 x$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

11．已知向量 $a=(\sqrt{3}, 1), b=(0,-1), c=(k, \sqrt{3})$ ．若 $a-$ 2 b 与 c 共线，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=\frac{1}{2}, a_{4}=4$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ ；$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

13．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x}, & x \geq 2 \\ (x-1)^{3}, & x<2\end{array}\right.$ 若关于 x 的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

14．设 $A(0,0), B(4,0), C(t+4,3), D(t, 3)(t \in R)$ 。记 $N(t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 $N(0)=$ $\_\_\_\_$ $N(t)$ 的所有可能取值为 $\_\_\_\_$ ## 三、解答题6小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共 13 分） 已知函数 $f(x)=4 \cos x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1$ ． （I）求 $f(x)$ 的最小正周期： （II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。 | 甲组 | | | 乙组 | | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 9 | 9 | 0 | $X$ | 8 | 9 | | 1 | 1 | 1 | 0 | | | （1）如果 $\mathrm{x}=8$ ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （2）如果 $x=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率． （注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\vec{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\vec{x}\right)^{2}+\cdots\left(x_{n}-\vec{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\vec{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的平均数）

17．（本小题共14分） 如图，在四面体 $P A B C$ 中，$P C \perp A B, P A \perp B C$ ，点 $D, E, F, G$ 分别是棱 $A P, A C, B C, P B$ 的中点． （I）求证： $\mathrm{DE} \|$ 平面 BCP ； （II）求证：四边形DEFG为矩形； （III）是否存在点 Q ，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． 

18．（本小题共13分） 已知函数 $f(x)=(x-k) e^{x}$ ． （I）求 $f(x)$ 的单调区间； （II）求 $f(x)$ 在区间［0，1］上的最小值．

19．（本小题共14分） 已知椭圆 $G: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，斜率为 I 的直线 $l$ 与椭圆 G 交与 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 $\mathrm{P}(-3,2)$ ． （I）求椭圆 $G$ 的方程； （II）求 $\triangle P A B$ 的面积．

20．（本小题共13分） 若数列 $A_{n}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geq 2)$ 满足 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1(k=1,2, \cdots, n-1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. （I）写出一个E数列 $\mathrm{A}_{5}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$ ； （II）若 $a_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n}=2011$ ； （III）在 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ 成立得 n 的最小值．