（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角

【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆

【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为 $( \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } { \cos \theta } + 1 , \ \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } { \sin \theta } + 2 )$

，根据 $\overrightarrow { A P } = \lambda \overrightarrow { A B } + \mu \overrightarrow { A D }$ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值

【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
$\because B C = 2 , C D = 1 ,$
$\therefore B D = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 }$
$\therefore \frac { 1 } { 2 } \mathsf { B C } \bullet \mathsf { C D } = \frac { 1 } { 2 } \mathsf { B D } \bullet \mathsf { r } ,$
$\therefore r = { \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } } ,$
∴圆的方程为 $( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = \frac { 4 } { 5 } ,$
设点P的坐标为 $( \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } { \cos \theta } + 1 , \ \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } { \sin \theta } + 2 )$
$\because \overrightarrow { A F } = \lambda \overrightarrow { A B } + \mu \overrightarrow { A D } ,$
$: ( \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } \cos \theta + 1 , \ \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } \sin \theta + 2 ) \ = \lambda ( 1 , \ 0 ) \ + \mu ( 0 , \ 2 ) \ = \ ( \lambda , \ 2 \mu ) \ = \ \lambda ( 0 , \ 2 \mu )$ $\therefore \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } \cos \theta + 1 = \lambda , \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } \sin \theta + 2 = 2 \mu ,$
$\therefore \lambda ^ { + } \mu = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } \cos \theta + \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } \sin \theta + 2 = \sin ( \theta + \phi ) + 2$ ，其中 $\tan \phi = 2$
$\because - 1 \leq \sin ( \theta + \phi ) \leq 1 ,$
$\therefore 1 \leq \lambda + \mu \leq 3 ,$
故λ+μ的最大值为3，
故选：A 故选：A.

【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是

设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题