已知 a>0 且 a ≠ 1，函数 f(x)= x^ a…——2021 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$\left(0, \frac{2}{\ln 2}\right]$ 上单调递增；$\left[\frac{2}{\ln 2},+\infty\right)$ 上单调递减；（2）$(1, e) \cup(e,+\infty)$ ．

【解析】

【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点等价转化为方程 $\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln a}{a}$ 有两个不同的实数根，即曲线 $y=g(x)$ 与直线 $y=\frac{a}{\ln a}$ 有两个交点，利用导函数研究 $g(x)$ 的单调性，并结合 $g(x)$ 的正负，零点和极限值分析 $g(x)$ 的图象，进而得到 $0<\frac{\ln a}{a}<\frac{1}{e}$ ，发现这正好是 $0<g(a)<g(e)$ ，然后根据 $g(x)$ 的图象和单调性得到 $a$ 的取值范围．

【详解】①当 $a=2$ 时，$f(x)=\frac{x^{2}}{2^{x}}, f^{\prime}(x)=\frac{2 x 2^{x}-x^{2} 2^{x} \ln 2}{\left(2^{x}\right)^{2}}=\frac{x 2^{x}(2-x \ln 2)}{4^{x}}$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=\frac{2}{\ln 2}$ ，当 $0<x<\frac{2}{\ln 2}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，当 $x>\frac{2}{\ln 2}$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，
∴ 函数 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{\ln 2}\right]$ 上单调递增；$\left[\frac{2}{\ln 2},+\infty\right)$ 上单调递减；
（2）$f(x)=\frac{x^{a}}{a^{x}}=1 \Leftrightarrow a^{x}=x^{a} \Leftrightarrow x \ln a=a \ln x \Leftrightarrow \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln a}{a}$ ，设函数 $g(x)=\frac{\ln x}{x}$ ，
则 $g^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ ，令 $g^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=e$ ，
在 $(0, e)$ 内 $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增；
在 $(e,+\infty)$ 上 $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减；
$\therefore g(x)_{\max }=g(e)=\frac{1}{e}$ ，
又 $g(1)=0$ ，当 $x$ 趋近于 $+\infty$ 时，$g(x)$ 趋近于 0 ，

所以曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点，即曲线 $y=g(x)$ 与直线 $y=\frac{a}{\ln a}$ 有两个交点的充分必要条件是 $0<\frac{\ln a}{a}<\frac{1}{e}$ ，这即是 $0<g(a)<g(e)$ ，

所以 $a$ 的取值范围是 $(1, e) \cup(e,+\infty)$ ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解。