（18分）如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强…——2018 高考物理第 13 题答案解析

【考点】AK：带电粒子在匀强电场中的运动；CI：带电粒子在匀强磁场中的运动

【专题】11：计算题；22：学科综合题；31：定性思想；4C：方程法；536：带电粒子在磁场中的运动专题

【分析】（1）根据洛伦兹力提供向心力即可求出粒子到达M点的速度，然后结合动量定理即可求出粒子在电场中运动的时间；

> ②由圆周运动的条件与临界条件，求出粒子到达 M 的速度，然后由动能定理即可求出。

【解答】解：（1）设粒子第一次在磁场中运动的速度为v，粒子在磁场中受到的洛伦兹力

提供向心力，可得：

$$ q v B = { \frac { m v ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } R } } $$

可得： $\mathbf { v } { = } \frac { \sqrt { 3 } q B R } { m }$

粒子在电场中受到的电场力为 $\mathrm { q E }$ ，设运动的时间为t，则：

qEt＝mv﹣0

联立可得： $\mathrm { t } = { \frac { { \sqrt { 3 } } B R } { E } }$

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的过程中，其周期： $\mathrm { T } { = } \frac { 2 \pi m } { q B }$ ，可知粒子在磁场中运动的周期与其速度、半径都无关；

根据： $\frac { t _ { 0 } } { T } = \frac { \theta } { 2 \pi }$

可知粒子在磁场中运动的时间由轨迹的圆弧对应的圆心角有关，圆心角越小，则时间越短；所以当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短，设粒子此时的半径为r，如图：

由几何关系可得： $( r - R ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } R ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$

设粒子进入磁场时速度的方向与ab 的夹角为θ，则圆弧所对的圆心角为2θ，由几何关系可得：

$$ \mathrm { t a n } \theta { = } \frac { \sqrt { 3 } R } { r - R } $$

粒子从Q 点抛出后做类平抛运动，在电场方向向上的分运动与从P释放后的情况相同，所以粒子进入磁场时，沿竖直方向的分速度同样也为v，在垂直于电场方向的分速度始终

为 $\mathbf { v } _ { 0 } ,$ 则：

$$ \mathrm { t a n } \theta { = } \frac { v } { v _ { 0 } } $$

联立可得： $\mathrm { v } _ { 0 } { = } \frac { q B R } { m }$

答：（1）粒子从P 到M所用的时间是 ${ \frac { { \sqrt { 3 } } B R } { E } } ;$

（2）所用的时间最少时，粒子在Q时速度 $\mathbf { v } _ { 0 }$ 的大小是 $\frac { q B R } { m }$

【点评】本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力等，其中正确判断出临界条件是解答第二问的关键。