（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，…——2008 高考数学第 18 题答案解析

（1）由题意，二次函数 $f(x)=x^2+2x+b$ 的图象与两坐标轴有三个交点。
首先，令 $x=0$，得 $y=b$，即抛物线与 $y$ 轴的交点为 $(0, b)$。若 $b=0$，则交点为原点 $(0,0)$，此时抛物线与 $x$ 轴的一个交点也是原点，总共只有两个交点（原点和另一个 $x$ 轴交点），不合题意，故 $b \neq 0$。
其次，抛物线与 $x$ 轴必须有两个不同的交点。令 $f(x)=0$，即 $x^2+2x+b=0$。
该方程需有两个不相等的实数根，故判别式 $\Delta > 0$。
$$ \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times b = 4 - 4b > 0 $$
解得 $b < 1$。
综上所述，实数 $b$ 的取值范围是 $b < 1$ 且 $b \neq 0$。

（2）设圆 $C$ 的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
圆 $C$ 经过抛物线与坐标轴的三个交点。
抛物线与 $x$ 轴的交点满足 $y=0$ 且 $x^2+2x+b=0$。
在圆的方程中令 $y=0$，得 $x^2 + Dx + F = 0$。
由于这两个方程描述的是相同的 $x$ 轴交点，对比系数可得：
$$ D = 2, \quad F = b $$
此时圆的方程变为 $x^2 + y^2 + 2x + Ey + b = 0$。
抛物线与 $y$ 轴的交点为 $(0, b)$。将该点坐标代入圆的方程：
$$ 0^2 + b^2 + 2(0) + E(b) + b = 0 $$
$$ b^2 + Eb + b = 0 $$
因为 $b \neq 0$，两边同除以 $b$，得：
$$ b + E + 1 = 0 \implies E = -(b+1) $$
所以，圆 $C$ 的方程为：
$$ x^2 + y^2 + 2x - (b+1)y + b = 0 $$

（3）圆 $C$ 经过定点。证明如下：
将圆 $C$ 的方程整理为关于参数 $b$ 的形式：
$$ x^2 + y^2 + 2x - y - b(y - 1) = 0 $$
若圆 $C$ 经过与 $b$ 无关的定点 $(x_0, y_0)$，则上述方程对任意满足条件的 $b$ 恒成立。
这意味着 $b$ 的系数必须为 0，且剩余部分也为 0。即：
$$ \begin{cases} y_0 - 1 = 0 \\ x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 - y_0 = 0 \end{cases} $$
由第一个方程得 $y_0 = 1$。
将 $y_0 = 1$ 代入第二个方程：
$$ x_0^2 + 1^2 + 2x_0 - 1 = 0 $$
$$ x_0^2 + 2x_0 = 0 $$
$$ x_0(x_0 + 2) = 0 $$
解得 $x_0 = 0$ 或 $x_0 = -2$。
因此，定点坐标为 $(0, 1)$ 和 $(-2, 1)$。
经检验，当 $x=0, y=1$ 时，$0+1+0-(b+1)+b = 1-b-1+b=0$，成立；
当 $x=-2, y=1$ 时，$4+1-4-(b+1)+b = 1-b-1+b=0$，成立。
故圆 $C$ 必过定点 $(0, 1)$ 和 $(-2, 1)$。