2018_新课标II卷
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac { 7 } { 8 }$ ，SA与圆锥底面所成角为 $1 4 5 ^ { \circ }$ ，若 $\triangle S A B$ 的面积为 $\scriptstyle 5 { \sqrt { 1 5 } }$ ，则该圆锥的侧面积为 $\underline { { 4 0 } } \sqrt { 2 } \underline { { \pi } }$
$4 0 \sqrt { 2 } \pi$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】MI：直线与平面所成的角
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离
【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac { 7 } { 8 }$ ，可得 $\sin \angle A S B =$ $\sqrt { 1 - ( \frac { 7 } { 8 } ) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 8 }$
$\triangle S A B$ 的面积为 $\scriptstyle 1 5 { \sqrt { 1 5 } }$
可得 $\frac { 1 } { 2 } S A ^ { 2 } S i n \angle A S B = 5 \sqrt { 1 5 }$ ，即 $\frac { 1 } { 2 } { \mathbb S } { \mathbb A } ^ { 2 } { \times } \frac { \sqrt { 1 5 } } { 8 } { = } 5 \sqrt { 1 5 } $ ，即 $S A = 4 \sqrt { 5 }$
$\mathsf { S A } .$ 与圆锥底面所成角为 $1 4 5 ^ { \circ }$ ，可得圆锥的底面半径为： $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \times 4 \sqrt { 5 } = 2 \sqrt { 1 0 }$
则该圆锥的侧面积： $\frac { 1 } { 2 } \times 4 \sqrt { 1 0 } \times 4 \sqrt { 5 } \pi = 4 0 \sqrt { 2 } \pi$
故答案为： $4 0 \sqrt { 2 } \pi$
【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力