【 答 案 】（ 1 ） $\nu _ { _ { \mathrm { { m } } } } = { \frac { 4 } { 3 } } { \sqrt { g H } }$ ；（ 2 ） ${ \frac { 1 - 2 { \sqrt { 6 } } } { 3 } } H \leq x \leq 2 H$ ；（ 3 ） $\nu _ { \scriptscriptstyle 1 } = \frac { 1 } { 5 } \sqrt { 3 0 g H }$ $x _ { 1 } = \frac { 2 6 } { 1 5 } { \cal H }$ 或$\nu _ { { } _ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 5 } \sqrt { 3 0 g H } ~ , ~ x _ { { } _ { 2 } } = \frac { 1 4 } { 1 5 } H$
【解析】
【详解】（1）虫子做匀加速直线运动，青蛙做平抛运动，由几何关系可知
$$
x _ { \stackrel { \scriptstyle \oplus } { \scriptstyle \pm } } = { \frac { \displaystyle { \frac { 3 } { 4 } } H } { \displaystyle { \tan 3 7 ^ { \circ } } } } = H
$$
$$
\frac { x _ { _ { _ \mathrm { \oplus E } } } } { x _ { _ \mathrm { \oplus E } } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }
$$
青蛙做平抛运动，设时间为 $t _ { _ { \oplus \pm } }$ ，有
$$
x _ { \mathrm { { \scriptscriptstyle \# } \pm } } = \nu _ { \mathrm { { m } } } t _ { \mathrm { { \scriptscriptstyle \displaystyle \# } } }
$$
$$
H - \frac { 3 } { 4 } H = \frac { 1 } { 2 } { g t } _ { \ast } ^ { 2 }
$$
联立解得
$$
t _ { _ { \mathrm { 4 } } } = \sqrt { \frac { H } { 2 g } } , \nu _ { _ \mathrm { m } } = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { g H }
$$
> ②设蛙和虫若同时开始运动时间均为t，相遇时有
$$
{ \frac { 1 } { 2 } } g t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } a _ { y } t ^ { 2 } = H
$$
解得
$$
t = { \sqrt { \frac { 3 H } { 2 g } } }
$$
则最小的位置坐标为
$$
x _ { \mathrm { m i n } } = \nu _ { \mathrm { m } } t - \frac { 1 } { 2 } a _ { x } t ^ { 2 } = \frac { 1 - 2 \sqrt { 6 } } { 3 } H
$$
而蛙和虫不同时刻出发时需要轨迹相切，青蛙的平抛运动有
$$
y = H - \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } , x = \nu _ { \mathrm { m } } t
$$
可得轨迹方程为
$$
y = H - \frac { g } { 2 \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } x ^ { 2 }
$$
虫的轨迹方程为
$$
y = ( x _ { \mathrm { m a x } } - x ) \tan { 3 7 ^ { \circ } }
$$
两轨迹相交，可得
$$
( x _ { \mathrm { m a x } } - x ) \tan 3 7 ^ { \circ } = H - \frac { g } { 2 \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } x ^ { 2 }
$$
整理可知
$$
\frac { g } { 2 \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } x _ { \mathrm { m } } - H = 0
$$
令 $\Delta { = } 0$ ，即
$$
\frac { 9 } { 1 6 } - 4 \times \frac { g } { 2 \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } \cdot ( \frac { 3 } { 4 } x _ { \mathrm { m } } - H ) = 0
$$
解得
$$
x _ { \operatorname* { m a x } } = 2 H
$$
虫在x轴上飞出 位置范围为的
$$
{ \frac { 1 - 2 { \sqrt { 6 } } } { 3 } } H \leq x \leq 2 H
$$
> ③设蛙的运动时间为 $t _ { 1 }$ ，有
$$
{ \frac { 1 } { 2 } } g t _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } a _ { _ { y } } ( { \sqrt { 2 } } t _ { 1 } ) ^ { 2 } = H
$$
$$
{ \frac { 1 } { 2 } } g t _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } a _ { y } ( { \sqrt { 1 7 } } t _ { 2 } ) ^ { 2 } = H
$$
解得
$$
t _ { 1 } = \sqrt { \frac { 6 H } { 5 g } } , t _ { 2 } = \sqrt { \frac { 3 H } { 1 0 g } }
$$
而
$$
\nu _ { 1 } t _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { x } ( \sqrt { 2 } t _ { 1 } ) ^ { 2 } = x _ { 1 }
$$
$$
\nu _ { 1 } t _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { x } ( \sqrt { 1 7 } t _ { 2 } ) ^ { 2 } = x _ { 1 }
$$
解得
$$
\nu _ { 1 } = \frac { 1 } { 5 } \sqrt { 3 0 g H } ~ , ~ x _ { 1 } = \frac { 2 6 } { 1 5 } H
$$
而
$$
\nu _ { 1 } t _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { x } ( \sqrt { 2 } t _ { 1 } ) ^ { 2 } = x _ { 2 }
$$
$$
\frac { 1 } { 2 } a _ { x } ( \sqrt { 1 7 } t _ { 2 } ) ^ { 2 } - \nu _ { 2 } t _ { 2 } = x _ { 2 }
$$
解得
$$
\nu _ { 2 } = \frac { 1 } { 1 5 } \sqrt { 3 0 g H } ~ , ~ x _ { 2 } = \frac { 1 4 } { 1 5 } H
$$