（本小题满分 12 分） 正三棱锥 O-A B C 的三条…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：（1）证明：依题设，$E F$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线，所以 $E F / / B C$ ，
则 $E F / /$ 平面 $O B C$ ，所以 $E F / / B_{1} C_{1}$ 。

又 $H$ 是 $E F$ 的中点，所以 $A H \perp E F$ ，则 $A H \perp B_{1} C_{1}$ 。
因为 $O A \perp O B, O A \perp O C$ ，
所以 $O A \perp$ 面 $O B C$ ，则 $O A \perp B_{1} C_{1}$ ，

因此 $B_{1} C_{1} \perp$ 面 $O A H$ 。
（2）作 $O N \perp A_{1} B_{1}$ 于 $N$ ，连 $C_{1} N$ 。因为 $O C_{1} \perp$ 平面 $O A_{1} B_{1}$ ，

根据三垂线定理知，$C_{1} N \perp A_{1} B_{1}$ ，
$\angle O N C_{1}$ 就是二面角 $O-A_{1} B_{1}-C_{1}$ 的平面角。

作 $E M \perp O B_{1}$ 于 $M$ ，则 $E M / / O A$ ，则 $M$ 是 $O B$ 的中点，则 $E M=O M=1$ 。

设 $O B_{1}=x$ ，由 $\frac{O B_{1}}{M B_{1}}=\frac{O A_{1}}{E M}$ 得，$\frac{x}{x-1}=\frac{3}{2}$ ，解得 $x=3$ ，
在 Rt $\triangle O A_{1} B_{1}$ 中，$A_{1} B_{1}=\sqrt{O A_{1}^{2}+O B_{1}^{2}}=\frac{3}{2} \sqrt{5}$ ，则，$O N=\frac{O A_{1} \cdot O B_{1}}{A_{1} B_{1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ 。
所以 $\tan \angle O N C_{1}=\frac{O C_{1}}{O N}=\sqrt{5}$ ，故二面角 $O-A_{1} B_{1}-C_{1}$ 为 $\arctan \sqrt{5}$ 。

解法二：（1）以直线 $O A , O C , O B$ 分别为 $x , y , \mathrm{z}$ 轴，建立空间直角坐标系，$O-x y z$ 则
$A(2,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0), E(1,0,1), F(1,1,0), H\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
所以 $\overrightarrow{A H}=\left(-1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{O H}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{B C}=(0,2,-2)$
所以 $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=0, \overrightarrow{O H} \cdot \overrightarrow{B C}=0$
所以 $B C \perp$ 平面 $O A H$
由 $E F / / B C$ 得 $B_{1} C_{1} / / B C$ ，故：$B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $O A H$

②由已知 $A_{1}\left(\frac{3}{2}, 0,0\right)$ ，设 $B_{1}(0,0, z)$
则 $\overrightarrow{A_{1} E}=\left(-\frac{1}{2}, 0,1\right), \overrightarrow{E B_{1}}=(-1,0, z-1)$
由 $\overrightarrow{A_{1} E}$ 与 $\overrightarrow{E B_{1}}$ 共线得：存在 $\lambda \in R$ 有 $\overrightarrow{A_{1} E}=\lambda \overrightarrow{E B_{1}}$ 得
$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}=-\lambda \\ 1=\lambda(z-1)\end{array} \Rightarrow z=3 \therefore B_{1}(0,0,3)\right.$
同理：$C_{1}(0,3,0)$
$\therefore \overrightarrow{A_{1} B_{1}}=\left(-\frac{3}{2}, 0,3\right), \overrightarrow{A_{1} C_{1}}=\left(-\frac{3}{2}, 3,0\right)$

设 $\vec{n}_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 是平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的一个法向量，
则 $\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2} x+3 z=0 \\ -\frac{3}{2} x+3 y=0\end{array}\right.$ 令 $x=2$ 得 $y=x=1 \quad \therefore \overrightarrow{n_{1}}=(2,1,1)$ ．
又 $\overrightarrow{n_{2}}=(0,1,0)$ 是平面 $O A_{1} B_{1}$ 的一个法量
$\therefore \cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$
所以二面角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}$
③由②知，$A_{1}\left(\frac{3}{2}, 0,0\right), B(0,0,2)$ ，平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(2,1,1)$ 。
则 $\overrightarrow{A_{1} B}=\left(-\frac{3}{2}, 0,2\right)$ 。
则点 $B$ 到平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的距离为 $d=\frac{\left|\overrightarrow{A_{1} B} \cdot \overrightarrow{n_{1}}\right|}{\left|n_{1}\right|}=\frac{|-3+2|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$