2017_新课标I卷
12．（5分）设A，B是椭圆C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ m ~ } } = 1$ 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠
$A M B = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，则m的取值范围是（ ）
A $\left( 0 , \ 1 \right] \cup \left[ 9 , \ + _ { \infty } \right)$ B．（0， $\sqrt { 3 } ] \cup [ 9 , ~ + \infty )$ C $\left( 0 , \ 1 \right] \cup \left[ 4 , \ + \infty \right)$ D．（0， $\sqrt { 3 } ] \cup [ 4 , ~ + \infty )$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足 $\angle A M B = 1 2 0 ^ { \circ }$ $\angle A M B { = } 1 2 0 ^ { \circ }$ ，∠${ \mathsf { A M O } } { \geq } 6 0 ^ { \circ }$ ，当假设椭圆的焦点在x轴上， $\tan \angle A M O = \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { \pi } } = \tan 6 0 ^ { \circ }$ ，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时， $\mathsf { m } > 3$ $\tan \angle A M O = \frac { \sqrt { \pi } } { \sqrt { 3 } } \arctan 6 0 ^ { \circ } = \sqrt { 3 } ,$ ，即可求得m的取值范围
【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则 $0 { < } { \mathsf { m } } { < } { 3 }$ 时，
设椭圆的方程为： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ ，设A（﹣a，0），B（a，0），M（x$, \texttt { y } ) , \texttt { y } { > } 0$
则 $a ^ { 2 } - x ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }$
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ， $\tan \alpha = \frac { y } { x + a } , \tan \beta = \frac { y } { a - x }$
则tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣ tanα+tanβ 2ay 1-tanαtanβ a² 2 2 −x -y
$$ \frac { 2 a y } { \frac { a ^ { 2 } y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - y ^ { 2 } } = - \frac { 2 a b ^ { 2 } } { y ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) } = - \frac { 2 a b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } y } , $$
$\therefore \tan \gamma = - \frac { 2 \pi { \mathrm { b } } ^ { 2 } } { \mathsf { c } ^ { 2 } { \mathrm { y } } }$ ，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，
$\therefore M$ 位于短轴的端点时， $\angle A M B$ 取最大值，要使椭圆C上存在点M满足 $\angle A M B = 1 2 0 ^ { \circ }$
∠AMB≥120°， $\angle A M O { \geq } 6 0 ^ { \circ }$ $\tan \angle A M O = \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { \pi } } \geq \tan 6 0 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }$
解得： $0 { < } { \mathsf { m } } { \leq } 1$ •
当椭圆的焦点在y轴上时， $\mathsf { m } > 3$
当M位于短轴的端点时， $\angle A M B$ 取最大值，要使椭圆C上存在点M满足 $\angle A M B = 1 2 0$ °，
$\angle A M B { \geq } 1 2 0 ^ { \circ }$ $\angle A M O { \geq } 6 0 ^ { \circ }$ $\tan \angle A M O = \frac { \sqrt { \pi } } { \sqrt { 3 } } \tan 6 0 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }$ ，解得： $\mathsf { m } { \geq } 9$
$\therefore \mathsf { m }$ 的取值范围是 $\left( 0 , \ 1 \right] \cup \left[ 9 , \ + _ { \infty } \right)$
故选A
故选：A
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题