螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体…_2023北京高考物理第21题答案解析 | 高考真题检索

Question

21. 螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为 M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为 $G _ { \odot }$

（1）求 $r > R$ 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求 $r \leq R$ 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小 v 随 r的变化关系图像，如图所示，根据在 $r > R$ 范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围 $( r > R )$ 存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求 $r = n R$ 内暗物质的质量 $M ^ { \prime }$ o

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Accepted Answer

(1) $
u = { \sqrt { \frac { G M } { r } } }$; (2) $
u = r \sqrt { \frac { G M } { R ^ { 3 } } }$; (3) $M ^ { \prime } = \bigl ( n - 1 \bigr ) M$

【答案】（1） $
u = { \sqrt { \frac { G M } { r } } }$ ；② $
u = r \sqrt { \frac { G M } { R ^ { 3 } } }$ ；③ $M ^ { \prime } = \bigl ( n - 1 \bigr ) M$ 【解析】 【详解】①由万有引力定律和向心力公式有 $$ G \frac {M m}{r ^ {2}} = m \frac {v ^ {2}}{r} $$ 解得 $$ v = \sqrt {\frac {G M}{r}} $$ （2）在 $r \leq R$ 内部，星体质量 $$ M _ {0} = \frac {M}{\frac {4}{3} \pi R ^ {3}} \cdot \frac {4}{3} \pi r ^ {3} = \frac {M r ^ {3}}{R ^ {3}} $$ 由万有引力定律和向心力公式有 $$ G \frac {M _ {0} m}{r ^ {2}} = m \frac {v ^ {2}}{r} $$ 解得 $$ v = r \sqrt {\frac {G M}{R ^ {3}}} $$ （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 $$ G \frac {M m}{R ^ {2}} = m \frac {v _ {0} ^ {2}}{R} $$ 对处于 $r { = } n R$ 处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 $$ G \frac {\left(M + M ^ {\prime}ight) m}{\left(n Right) ^ {2}} = m \frac {v _ {0} ^ {2}}{n R} $$ 解得 $$ M ^ {\prime} = (n - 1) M $$

螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体…——2023 高考物理第 21 题答案解析

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