已知函数 f ( x ) = | e ^ x - 1 |…——2021 高考数学第 16 题答案解析

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】结合导数的几何意义可得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0$ ，结合直线方程及两点间距离公式可得 $\left| { \cal A } { \cal M } \right| = \sqrt { 1 + e ^ { 2 x _ { 1 } } } \cdot \left| x _ { 1 } \right|$ $ , \left| B N \right| = \sqrt { 1 + e ^ { 2 x _ { 2 } } } \cdot \left| x _ { 2 } \right|$ ，化简即可得解.

【详解】由题意， $f \left( x \right) = \left| e ^ { x } - 1 \right| = { \left\{ 1 - e ^ { x } , x < 0 \right. }$ ，则 $f ^ { \prime } { \big ( } x { \big ) } = { \left\{ \right.} _ { e ^ { x } , x > 0 } ^ { - e ^ { x } , x < 0 } $

所以点 $A { \left( x _ { 1 } , 1 - e ^ { x _ { 1 } } \right) }$ 和点 $B \big ( x _ { 2 } , e ^ { x _ { 2 } } - 1 \big ) , k _ { \scriptscriptstyle A M } = - e ^ { x _ { 1 } } , k _ { \scriptscriptstyle B N } = e ^ { x _ { 2 } }$

所以 $- e ^ { x _ { 1 } } \cdot e ^ { x _ { 2 } } = - 1 , x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0$

所以 $A M : y - 1 + e ^ { x _ { 1 } } = - e ^ { x _ { 1 } } \big ( x - x _ { 1 } \big ) , M \left( 0 , e ^ { x _ { 1 } } x _ { 1 } - e ^ { x _ { 1 } } + 1 \right)$

所以 $\left| A M \right| = \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + \left( e ^ { x _ { 1 } } x _ { 1 } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + e ^ { 2 x _ { 1 } } } \cdot \left| x _ { 1 } \right|$

同理 $\left| B N \right| = \sqrt { 1 + e ^ { 2 x _ { 2 } } } \cdot \left| x _ { 2 } \right|$

所以 ${ \frac { \left| A M \right| } { \left| B N \right| } } = { \frac { \sqrt { 1 + e ^ { 2 x _ { 1 } } } \cdot \left| x _ { 1 } \right| } { \sqrt { 1 + e ^ { 2 x _ { 2 } } } \cdot \left| x _ { 2 } \right| } } = { \sqrt { \frac { 1 + e ^ { 2 x _ { 1 } } } { 1 + e ^ { 2 x _ { 2 } } } } } = { \sqrt { \frac { 1 + e ^ { 2 x _ { 1 } } } { 1 + e ^ { - 2 x _ { 1 } } } } } = e ^ { x _ { 1 } } \in ( 0 , 1 )$

故答案 ：(0,1)为

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 0$ ，消去一个变量后，运算即可得解.

四､