（本小题满分14分） 设 b > 0，椭圆方程为 x ^…——2008 高考数学第 18 题答案解析

（1）由抛物线方程 $x^2 = 8(y-b)$ 可得 $y = \frac{1}{8}x^2 + b$。
过点 $F(0, b+2)$ 作 $x$ 轴的平行线，其方程为 $y = b+2$。
联立直线与抛物线方程：
$$ \begin{cases} y = b+2 \\ x^2 = 8(y-b) \end{cases} $$
代入得 $x^2 = 8(b+2-b) = 16$，解得 $x = \pm 4$。
因为点 $G$ 在第一象限，所以 $G$ 点坐标为 $(4, b+2)$。

对抛物线方程求导得 $y' = \frac{1}{4}x$。
则抛物线在点 $G$ 处的切线斜率为 $k = y'|_{x=4} = \frac{1}{4} \times 4 = 1$。
故切线方程为 $y - (b+2) = 1 \cdot (x-4)$，整理得 $y = x + b - 2$。

令 $y=0$，得 $x = 2-b$，即切线与 $x$ 轴交点坐标为 $(2-b, 0)$。
由题意，该交点即为椭圆的右焦点 $F_1$。
椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a^2 = 2b^2, b_{ell}^2 = b^2$（此处 $b_{ell}$ 指椭圆短半轴，区别于参数 $b$）。
椭圆的半焦距 $c = \sqrt{a^2 - b_{ell}^2} = \sqrt{2b^2 - b^2} = b$（因 $b>0$）。
所以椭圆右焦点 $F_1$ 的坐标应为 $(b, 0)$。

由上述两步得到的 $F_1$ 坐标一致，可得：
$$ 2-b = b $$
解得 $b=1$。
将 $b=1$ 代入原方程，得椭圆方程为 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$，抛物线方程为 $x^2 = 8(y-1)$。

（2）由（1）知椭圆方程为 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$，则长轴端点坐标为 $A(-\sqrt{2}, 0)$， $B(\sqrt{2}, 0)$。
设点 $P(x, y)$ 在抛物线 $x^2 = 8(y-1)$ 上，即 $y = \frac{1}{8}x^2 + 1$。
探究 $\triangle ABP$ 为直角三角形的情形，分三种情况讨论：

① 若 $\angle PAB = 90^\circ$：
此时 $PA \perp AB$。因为 $AB$ 在 $x$ 轴上，所以 $PA$ 垂直于 $x$ 轴，即点 $P$ 的横坐标 $x = -\sqrt{2}$。
将 $x = -\sqrt{2}$ 代入抛物线方程，得 $y = \frac{1}{8}(-\sqrt{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$。
此时存在唯一一点 $P_1(-\sqrt{2}, \frac{5}{4})$ 满足条件。

② 若 $\angle PBA = 90^\circ$：
此时 $PB \perp AB$，即点 $P$ 的横坐标 $x = \sqrt{2}$。
将 $x = \sqrt{2}$ 代入抛物线方程，得 $y = \frac{1}{8}(\sqrt{2})^2 + 1 = \frac{5}{4}$。
此时存在唯一一点 $P_2(\sqrt{2}, \frac{5}{4})$ 满足条件。

③ 若 $\angle APB = 90^\circ$：
此时 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$。
$\overrightarrow{PA} = (-\sqrt{2}-x, -y)$，$\overrightarrow{PB} = (\sqrt{2}-x, -y)$。
数量积为：
$$ (-\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}-x) + (-y)(-y) = x^2 - 2 + y^2 = 0 $$
即 $x^2 + y^2 = 2$。
又点 $P$ 在抛物线上，满足 $x^2 = 8(y-1)$。
联立方程组：
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ x^2 = 8y - 8 \end{cases} $$
消去 $x^2$ 得：$(8y-8) + y^2 = 2$，整理得 $y^2 + 8y - 10 = 0$。
解此一元二次方程：
$$ y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \times 1 \times (-10)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{104}}{2} = -4 \pm \sqrt{26} $$
因为点 $P$ 在抛物线 $x^2 = 8(y-1)$ 上，需满足 $y \ge 1$（由 $x^2 \ge 0$ 推出）。
显然 $y_1 = -4 - \sqrt{26} < 0$，舍去。
而 $y_2 = -4 + \sqrt{26}$，因为 $\sqrt{26} > \sqrt{16}=4$，且 $\sqrt{26} < \sqrt{36}=6$，所以 $0 < y_2 < 2$。
我们需要验证 $y_2 \ge 1$ 是否成立：
$-4 + \sqrt{26} \ge 1 \iff \sqrt{26} \ge 5 \iff 26 \ge 25$，成立。
所以 $y = -4 + \sqrt{26}$ 是有效解。
将此 $y$ 值代入 $x^2 = 8(y-1)$：
$x^2 = 8(-4+\sqrt{26}-1) = 8(\sqrt{26}-5)$。
因为 $\sqrt{26} > 5$，所以 $x^2 > 0$，对应两个不同的 $x$ 值（互为相反数）。
故此时存在两个不同的点 $P$ 满足条件。

综上所述，满足条件的点 $P$ 共有 $1 + 1 + 2 = 4$ 个。