2021_北京卷
19.已知函数 $f { \bigl ( } x { \bigr ) } = { \frac { 3 - 2 x } { x ^ { 2 } + a } }$
(1）若a= 0，求y = f(x)在(1, f(1))处切线方程；
(2） 若函数 f(x)在 x =-1处取得极值，求 f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
(1) 4x+y−5=0; (2) 函数f(x)的增区间为(-∞,-1)、(4,+∞)，单调递减区间为(-1,4)，最大值为1，最小值为 $- { \frac { 1 } { 4 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）4x+y−5=0；（2）函数f(x)的增区间为(-∞,-1)、(4,+∞)，单调递减区间为(-1,4)，最大值为1，最小值为 $- { \frac { 1 } { 4 } }$
【解析】
【分析】（1）求出f(1)、f′(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
> ②由 f'(-1)= 0可求得实数α的值，然后利用导数分析函数 f(x)的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】①当a=0时， $f \left( x \right) = { \frac { 3 - 2 x } { x ^ { 2 } } }$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 2 ( x - 3 ) } { x ^ { 3 } } } , ~ \therefore f ( 1 ) = 1 , ~ f ^ { \prime } ( 1 ) = - 4$
此时，曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y −1 =−4(x−1)，即 $4 x + y - 5 = 0$
(2) 因为 $f \left( x \right) = { \frac { 3 - 2 x } { x ^ { 2 } + a } }$ ，则 $f ^ { \prime } \left( x \right) = \frac { - 2 \left( x ^ { 2 } + a \right) - 2 x \left( 3 - 2 x \right) } { \left( x ^ { 2 } + a \right) ^ { 2 } } = \frac { 2 \left( x ^ { 2 } - 3 x - a \right) } { \left( x ^ { 2 } + a \right) ^ { 2 } }$
由题意可得 $f ^ { \prime } \left( - 1 \right) = \frac { 2 \left( 4 - a \right) } { \left( a + 1 \right) ^ { 2 } } = 0$ ，解得 $a = 4$
故 $f \left( x \right) = \frac { 3 - 2 x } { { { x } ^ { 2 } } + 4 } \mathrm { , } f ^ { \prime } \left( x \right) = \frac { 2 { { \left( x + 1 \right) } { { \left( x - 4 \right) } } } } { { { \left( { { x } ^ { 2 } } + 4 \right) } ^ { 2 } } }$ ，列表如下：
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>x</td><td rowspan=1 colspan=1>(-∞,-1)</td><td rowspan=1 colspan=1>-1</td><td rowspan=1 colspan=1>(−1,4)</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td><td rowspan=1 colspan=1>(4,+∞)</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1> $f ^ { \prime } ( x )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>十</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>十</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>f(x)</td><td rowspan=1 colspan=1>增</td><td rowspan=1 colspan=1>极大值</td><td rowspan=1 colspan=1>减</td><td rowspan=1 colspan=1>极小值</td><td rowspan=1 colspan=1>增</td></tr></table>
所以，函数f(x)的增区间为(-∞,-1)、(4,+∞)，单调递减区间为(-1,4).
当 $x < \frac { 3 } { 2 }$ 时，f(x)>0；当 $x > \frac { 3 } { 2 }$ 时， $f ( x ) < 0$
所以， $f \left( x \right) _ { \mathrm { m a x } } = f \left( - 1 \right) = 1 , f \left( x \right) _ { \mathrm { m i n } } = f \left( 4 \right) = - \frac { 1 } { 4 } .$