2018_新课标III卷
11．（5分）设 ${ \sf { F } } _ { 1 } , \sf { F } _ { 2 }$ 是双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 . b > 0 )$ 的左，右焦点，O是坐标原点．过 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| { = } \sqrt { 6 } \left| \mathsf { O P } \right|$ ，则C的离心率为（ ）A $\sqrt { 5 }$ B．2 C $\sqrt { 3 }$ D $\sqrt { 2 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】先根据点到直线的距离求出 $\vert P F _ { 2 } \vert = b$ ，再求出 $\left| 0 mathsf { P } \right| = \mathsf { a }$ ，在三角形 $\mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P F } _ { 2 }$ 中，由余弦定理可得 $\mid \mathsf { P F } _ { 1 } \mid ^ { 2 } = \mid \mathsf { P F } _ { 2 } \mid ^ { 2 } + \mid \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \mid ^ { 2 } - 2 \mid \mathsf { P F } _ { 2 } \mid \bullet \mid \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \mid \cos \angle \mathsf { P F } _ { 2 } \mathsf { O }$ ，代值化简整理可得 $\sqrt { 3 } a = c$ ，问题得以解决
【解答】解：双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 . b > 0 )$ 的一条渐近线方程为 $\scriptstyle 1 \forall = { \frac { b } { a } } x$
∴点 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 到渐近线的距离 $d = \frac { b c } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = b$ ，即 $\vert P F _ { 2 } \vert = b$
$\therefore \mid { \mathsf { O P } } \mid = \sqrt { \mid { \mathsf { O F } } _ { 2 } \mid ^ { 2 } - \mid { \mathsf { P F } } _ { 2 } \mid ^ { 2 } } = \sqrt { \mathsf { c } ^ { 2 } - \mathsf { b } ^ { 2 } } = \mathsf { a } , ~ { \mathsf { c o s } } \angle { \mathsf { P F } } _ { 2 } { \mathsf { O } } = \frac { \mathsf { b } } { \mathsf { c } } ,$
∵ $\mid \mathsf { P F } _ { 1 } \mid = \sqrt { 6 } \mid \mathsf { O P } \mid$
$$ \therefore | \mathsf { P F } _ { 1 } | = \sqrt { 6 } \mathsf { a } , $$
在三角形 $\mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P F } _ { 2 }$ 中，由余弦定理可得 $\mid \mathsf { P F } _ { 1 } \mid 2 = \mid \mathsf { P F } _ { 2 } \mid 2 + \mid \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \mid 2 - 2 \mid \mathsf { P F } _ { 2 } \mid \bullet \mid \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \mid \mathsf { C O S } \angle \mathsf { P F }$ $_ { 2 } { \mathsf { O } } _ { : }$
$$ : 6 a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } - 2 \times b \times 2 c \times \frac { b } { c } = 4 c ^ { 2 } - 3 b ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 } - 3 ( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) $$
即 $3 a ^ { 2 } { = } c ^ { 2 }$
即 $\sqrt { 3 } a = c$
$$ \therefore e = \frac { c } { a } = \sqrt { 3 } , $$
故选：C
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题