2012_xinkebiao_old
16．（5分）设函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { ( \mathbf { x } + 1 ) \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } + \mathsf { s i n } \mathbf { x } } { \mathbf { \Sigma } _ { \mathbf { x } } \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } + 1 }$ 的最大值为M，最小值为m，则 $\mathsf { M } + \mathsf { m }$ $= 2$
2
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合
【专题】15：综合题；16：压轴题
【分析】函数可化为f $( \mathbf { x } ) \ = \frac { ( \mathbf { x } + 1 ) \ ^ { 2 } + \sin \mathbf { x } } { \mathbf { x } \ ^ { 2 } + 1 } = 1 + \frac { 2 \mathbf { x } + \sin \mathbf { x } } { \mathbf { x } \ ^ { 2 } + 1 }$ ，令 $\mathbf { g } \left( \mathbf { x } \right) = \frac { 2 \mathbf { x } + \mathbf { s i n x } } { \mathbf { x } ^ { 2 } + 1 }$ 则 $g \left( \mathbf { x } \right) = \frac { 2 \mathbf { x } + \mathbf { s i n x } } { \mathbf { x } ^ { 2 } + 1 }$ 为奇函数，从而函数 $g \left( \mathbf { x } \right) = \frac { 2 \mathbf { x } + \mathbf { s i n x } } { \mathbf { x } ^ { 2 } + 1 }$ 的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { ( \mathbf { x } + 1 ) \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } + \mathsf { s i n } \mathbf { x } } { \mathbf { \Sigma } _ { \mathbf { x } } \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } + 1 }$ 的最大值与最小值的和
【解答】解：函数可化为f $( \bf x ) \tau = \frac { ( \bf x + 1 ) \tau ^ { 2 } + s i n x } { x \tau ^ { 2 } + 1 } = 1 + \frac { 2 x + s i n x } { x \tau ^ { 2 } + 1 } ,$ 令 $g \left( \mathbf { x } \right) = \frac { 2 \mathbf { x } + \mathbf { s i n x } } { \mathbf { x } ^ { 2 } + 1 }$ ，则 $\mathbf { g } \left( \mathbf { x } \right) { = } \frac { 2 \mathbf { x } + \mathbf { s i n x } } { \mathbf { x } ^ { 2 } + 1 }$ 为奇函数，$\therefore g ( x ) = \frac { 2 x + \tt { s i n x } } { { \bf x } ^ { 2 } + 1 }$ 的最大值与最小值的和为0
∴函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { ( \mathbf { x } + 1 ) ^ { 2 } + \sin \mathbf { x } } { \mathbf { x } ^ { 2 } + 1 }$ 的最大值与最小值的和为1+1+0=2
即 $M + m = 2$
故答案为：2
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简
，转化为利用函数的奇偶性解题