（5分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱…——2017 高考数学第 9 题答案解析

【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面 $\triangle A B C$ 的中心为O．不妨设 ${ \mathsf { O P } } { = } 3$ ．则 O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0， $6 \sqrt { 2 } ) , \ 0 \ ( \sqrt { 3 } , \ 2 , \ 0 ) , \ \mathsf { R } \left( - 2 \sqrt { 3 } , \ 0 , \ 0 \right)$ ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角

解法二：如图所示，连接 OD，OQ，OR，过点 O 发布作垂线： $0 E \bot D R , 0 F \bot$ ${ \mathsf { D } } { \mathsf { Q } } , \ { \mathsf { O } } { \mathsf { G } } \bot { \mathsf { Q } } { \mathsf { R } }$ ，垂足分别为 E，F，G，连接 PE，PF，PG．设 OP=h．可得 cosα=$\frac { S _ { \Delta O D R } } { S _ { \Delta P D R } } = \frac { O E } { P E } = \frac { O E } { \sqrt { O E ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } .$ 同 理 可 得 ： $\cos \beta = \frac { { \bar { 0 } } \sqrt { 5 } } { { \bar { \mathrm { P F } } } } = \frac { { \bar { 0 } } \bar { \mathrm { F } } } { \sqrt { { \bar { 0 } } { \bar { \mathrm { F } } } ^ { 2 } + \mathrm { h } ^ { 2 } } } ,$ $\cos \gamma = \frac { O G } { P G } = \frac { O G } { \sqrt { O G ^ { 2 } + h ^ { 2 } } }$ ．由已知可得： $0 \mathsf { E } { > } 0 \mathsf { G } { > } 0 \mathsf { F }$ ．即可得出

【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O不妨设 OP=3．则 O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，$6 \sqrt { 2 } )$ ），

Q ，R ，

$\overrightarrow { \mathrm { P R } } = ( - 2 \sqrt { 3 } , ~ 3 , ~ 0 ) , \quad \overrightarrow { \mathrm { P I } } = \mathrm { ~ ( ~ 0 ~ , ~ 3 ~ , ~ } ~ 6 \sqrt { 2 } ) , \quad \overrightarrow { \mathrm { P } } \vec { \mathrm { \ P } } = \mathrm { ~ ( ~ \sqrt { 3 } , ~ ~ 5 ~ , ~ } ~ 0 ~ )$ $\overrightarrow { \sf Q F } = ( - 3 \sqrt { 3 } , ~ - 2 , ~ 0 )$

$$ \overrightarrow { \sf { Q D } } = ( - \sqrt { 3 } , - 2 , 6 \sqrt { 2 } ) . $$

设平面PDR的法向量为 $\vec { \bf \Phi } _ { \mathrm { { r } } } \mathbf { = } \mathbf { \Phi } ( { \bf x } , \ { \bf y } , \ { \bf z } )$ ，则 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { { \vec { \mathrm { n } } } \bullet { \overline { { \operatorname { P R } } } } = 0 } \\ { { \vec { \mathrm { n } } } \bullet { \overline { { \operatorname { P D } } } } = 0 } \end{array} \right. }$ ，可得 $\left\{ \begin{array} { l } { - 2 { \sqrt { 3 } } \mathbf { x } + 3 \mathbf { y } = 0 } \\ { 3 \mathbf { y } + 6 { \sqrt { 2 } } \mathbf { z } = 0 } \end{array} \right.$

可得 $\vec { \bf \underline { { \tau } } } _ { \mathrm { { n } } } = ( \sqrt { 6 } , ~ 2 \sqrt { 2 } , ~ - 1 )$ ，取平面 ABC 的法向量 $\stackrel { } { \pi } = \ ( 0 , \ 0 , \ 1 )$

则 $\cos < \overrightarrow { \mathrm { m } } , \overrightarrow { \mathrm { n } } > = \frac { \overrightarrow { \mathrm { m } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { n } } } { \vert \overrightarrow { \mathrm { m } } \vert \vert \overrightarrow { \mathrm { n } } \vert } = \frac { - 1 } { \sqrt { 1 5 } }$ ，取 $a { = } \mathsf { a r c c o s } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 5 } } }$

同理可得： $\beta { = } \mathsf { a r c c o s } \frac { 3 } { \sqrt { 6 8 1 } } . \quad \mathsf { v = a r c c o s } \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 9 5 } } .$

$$ \because { \frac { 1 } { \sqrt { 1 5 } } } > { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 9 5 } } } > { \frac { 3 } { \sqrt { 6 8 1 } } } . $$

$$ \therefore a < v < \beta . $$

解法二：如图所示，连接 OD，OQ，OR，过点 O 发布作垂线： $0 E \bot D R , O F \bot$ ${ \mathsf { D } } { \mathsf { Q } } , \ { \mathsf { O } } { \mathsf { G } } \bot { \mathsf { O } } { \mathsf { R } }$ ，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG

设 OP=h

则 $\cos \alpha = \frac { S _ { \Delta \ O D R } } { S _ { \Delta \ P D R } } = \frac { O E } { P E } = \frac { O E } { \sqrt { O E ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } ,$

同理可得： $\cos \beta = \frac { { \tt O F } } { { \tt P F } } = \frac { { \tt O F } } { \sqrt { { \tt O F } ^ { 2 } + \mathrm { h } ^ { 2 } } } , \cos \tt N = \frac { { \tt O G } } { { \tt P G } } = \frac { { \tt O G } } { \sqrt { { \tt O G } ^ { 2 } + \mathrm { h } ^ { 2 } } } .$

由已知可得： $0 \mathsf { E } { > } 0 \mathsf { G } { > } 0 \mathsf { F }$

$\therefore \cos \alpha - \cos \gamma > \cos \beta$ ，α，β，γ 为锐角

$$ \therefore a < v < \beta . $$

故选：B

【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题