甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方…——2022 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）0.6；

（2）分布列见解析， $E { \big ( } X { \big ) } = 1 3$

【解析】

【分析】①设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A B C, , ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望【小问1详解】

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A B C, , ，所以甲学校获得冠军的概率为

$$ P = P { \big ( } A B C { \big ) } + P { \big ( } { \overline { { A } } } B C { \big ) } + P { \big ( } A { \overline { { B } } } C { \big ) } + P { \big ( } A B { \overline { { C } } } { \big ) } $$

$$ = 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 8 + 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 8 + 0 . 5 \times 0 . 6 \times 0 . 8 + 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 2 $$

$$ = 0 . 1 6 + 0 . 1 6 + 0 . 2 4 + 0 . 0 4 = 0 . 6 . $$

【小问2详解】

依题可知，X的可能取值为0,10, 20,30，所以，

$$ P \left( { X = 0 } \right) = 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 8 = 0 . 1 6 , $$

$$ P { \big ( } X = 1 0 { \big ) } = 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 8 + 0 . 5 \times 0 . 6 \times 0 . 8 + 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 2 = 0 . 4 4 , $$

$$ P { \big ( } X = 2 0 { \big ) } = 0 . 5 \times 0 . 6 \times 0 . 8 + 0 . 5 \times 0 . 4 \times 0 . 2 + 0 . 5 \times 0 . 6 \times 0 . 2 = 0 . 3 4 { \mathrm { , } } $$

$$ P { \big ( } X = 3 0 { \big ) } = 0 . 5 \times 0 . 6 \times 0 . 2 = 0 . 0 6 . $$

即 X的分布列为

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td><td rowspan=1 colspan=1>30</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1>0.16</td><td rowspan=1 colspan=1>0.44</td><td rowspan=1 colspan=1>0.34</td><td rowspan=1 colspan=1>0.06</td></tr></table>

期望 $E { \big ( } X { \big ) } = 0 \times 0 . 1 6 + 1 0 \times 0 . 4 4 + 2 0 \times 0 . 3 4 + 3 0 \times 0 . 0 6 = 1 3$