2021_浙江卷
16. 已知椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > b > 0 )$ ，焦点 $F _ { 1 } ( - c , 0 )$ $F _ { 2 } ( c , 0 ) \ ( c > 0 )$ ，若过 $F _ { 1 }$ 的直线和圆$\left( x - { \frac { 1 } { 2 } } c \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = c ^ { 2 }$ 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 $P F _ { 2 } \perp x$ 轴，则该直线的斜率是
，椭圆的离心率是【答案】 (1). $\frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ (2). $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
${ \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } ; { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】不妨假设 $c = 2$ ，根据图形可知 $\sin \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 }$ ，再根据同角三角函数基本关系即可求出$k = \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = \frac { 2 } { 5 } \sqrt { 5 }$ ；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率.
【详解】
如图所示：不妨假设c=2，设切点为B，
$$ \sin \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = \sin \angle B F _ { 1 } A = \frac { \left| A B \right| } { \left| F _ { 1 } A \right| } = \frac { 2 } { 3 } , ~ \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } } = \frac { 2 } { 5 } \sqrt { 5 } $$
所以 $k = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ ，由 $k = \frac { \left| P F _ { 2 } \right| } { \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| } , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c = 4$ ，所以 $\vert P F _ { 2 } \vert = \frac { 8 \sqrt { 5 } } { 5 } , \vert P F _ { 1 } \vert = \vert P F _ { 2 } \vert \times \frac { 1 } { \sin \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = \frac { 1 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
于是 $2 a = \left| P F _ { 1 } \right| + \left| P F _ { 2 } \right| = 4 \sqrt { 5 }$ ，即 $a = 2 { \sqrt { 5 } }$ ，所以 $e = { \frac { c } { a } } = { \frac { 2 } { 2 { \sqrt { 5 } } } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$
故答案为： ${ \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } ; { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$