（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，…——2012 高考数学第 11 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离

【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 $0 0 _ { 1 }$ ，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积

【解答】解：根据题意作出图形：

设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为 ${ \sf O } _ { 1 }$ ，则 ${ \mathsf { O } } { \mathsf { O } } _ { 1 } \bot$ 平面ABC，

延长 ${ \mathsf { C O } } _ { 1 }$ 交球于点D，则 $S D \bot$ 平面ABC

$$ \because C O _ { 1 } = \frac { 2 } { 3 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , $$

$$ \therefore 0 0 _ { 1 } = \sqrt { 1 - \frac { 1 } { 3 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } , $$

$$ S _ { \Delta } = 2 0 0 _ { 1 } = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } $$

$\because \triangle A B C$ 是边长为1的正三角形，

$$ \therefore S _ { \Delta A B C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } , $$

∴V_三棱锥S $A B C = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \times \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 6 }$

故选：C

【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离