已知a为第一象限角， β 为第三象限角， tan α +…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $- { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } }$

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 $\tan ( \alpha + \beta ) = - 2 { \sqrt { 2 } }$ ，再缩小 $\alpha + \beta$ 的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

【详解】法一：由题意得 $\tan \left( \alpha + \beta \right) = { \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \tan \beta } } = { \frac { 4 } { 1 - \left( { \sqrt { 2 } } + 1 \right) } } = - 2 { \sqrt { 2 } } \quad \beta \neq \infty .$

因为 $\alpha \in \left( 2 k \pi , 2 k \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) , \beta \in \left( 2 m \pi + \pi , 2 m \pi + \frac { 3 \pi } { 2 } \right)$ ， k, $m \in { \mathrm { Z } }$

则 $\alpha + \beta \in \left( \left( 2 m + 2 k \right) \pi + \pi , \left( 2 m + 2 k \right) \pi + 2 \pi \right) , k , m \in { \cal Z }$

又因为 $\tan \left( \alpha + \beta \right) = - 2 { \sqrt { 2 } } < 0$

则 $\alpha + \beta \in \left( \left( 2 m + 2 k \right) \pi + \frac { 3 \pi } { 2 } , \left( 2 m + 2 k \right) \pi + 2 \pi \right)$ ， k, $m \in { \mathrm { Z } }$ ，则 $\sin \left( \alpha + \beta \right) < 0$

则 ${ \frac { \sin \left( \alpha + \beta \right) } { \cos \left( \alpha + \beta \right) } } = - 2 { \sqrt { 2 } }$ ，联立 $\sin ^ { 2 } ( \alpha + \beta ) + \cos ^ { 2 } ( \alpha + \beta ) = 1$ ，解得 $\sin ( \alpha + \beta ) = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }$

法二： 因为a为第一象限角， $\beta$ 为第三象限角，则 $\cos \alpha > 0 , \cos \beta < 0$

$$ \cos \alpha = \frac {\cos \alpha}{\sqrt {\sin^ {2} \alpha + \cos^ {2} \alpha}} = \frac {1}{\sqrt {1 + \tan^ {2} \alpha}}, \cos \beta = \frac {\cos \beta}{\sqrt {\sin^ {2} \beta + \cos^ {2} \beta}} = \frac {- 1}{\sqrt {1 + \tan^ {2} \beta}}, $$

则 $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta ( \tan \alpha + \tan \beta )$

$$ = 4 \cos \alpha \cos \beta = \frac {- 4}{\sqrt {1 + \tan^ {2} \alpha} \sqrt {1 + \tan^ {2} \beta}} = \frac {- 4}{\sqrt {(\tan \alpha + \tan \beta) ^ {2} + (\tan \alpha \tan \beta - 1) ^ {2}}} = \frac {- 4}{\sqrt {4 ^ {2} + 2}} = - \frac {2 \sqrt {2}}{3} $$

故答案为： $- { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } }$