2014_新课标I卷
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角 $\angle M A N = 6 0 ^ { \circ }$ ，C点的仰角 $\angle C A B = 4 5 ^ { \circ }$ 以及 $\angle M A C = 7 5 ^ { \circ }$ ；从C点测得 $\angle M C A = 6 0 ^ { \circ }$ ，已知山高 $\mathsf { B C } = 1 0 0 \mathsf { m }$ ，则山高 $\mathsf { M N } { = } \_ { 1 5 0 } \quad \mathsf { m }$
150
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】HU：解三角形
【专题】12：应用题；58：解三角形
【分析】 $\triangle \mathsf { A B C } ^ { \prime }$ 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得
AC； $\triangle \sf { A M C }$ 中，由条件利用正弦定理求得AM； $R t \triangle A M N$ 中，根据 $M N = A M \bullet \sin$ $\angle M A N$ ，计算求得结果
【解答】解： $\triangle A B C \sharp$ ， $\because \angle B A C = 4 5 ^ { \circ }$ $\angle A B C = 9 0 ^ { \circ }$ $\mathtt { B C } = 1 0 0$
$$ \therefore A C = \frac { 1 0 0 } { \sin 4 5 ^ { \circ } } = 1 0 0 { \sqrt { 2 } } . $$
$\triangle \mathsf { A M C } !$ 中， $\because \angle M A C = 7 5 ^ { \circ } , \angle M C A = 6 0 ^ { \circ }$
$\therefore \angle A M C = 4 5 ^ { \circ }$ ，由正弦定理可得 $\frac { \mathrm { A M } } { \mathsf { s i n 6 0 } ^ { \circ } } = \frac { 1 0 0 \sqrt { 2 } } { \mathsf { s i n 4 5 } ^ { \circ } }$ ，解得 $\scriptstyle \mathsf { A M } = 1 0 0 { \sqrt { 3 } } .$
$\mathsf { R t \triangle A M N }$ 中， $M N = A M \bullet \sin \angle M A N = 1 0 0 \sqrt { 3 } \times \sin 6 0 ^ { \circ } = 1 5 0 ( m )$
故答案为：150
【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题