2013_daganji_old
17．（10分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ．已知 $\mathsf { S } _ { 3 } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { 2 } { } ^ { 2 }$ ，且 $\mathsf { S } _ { 1 }$ ， $\mathsf { S } _ { 2 }$ ， $\mathsf { S } _ { 4 }$ 成等比数列，求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项式
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列
【分析】由 ${ \tt s } _ { 3 } { = } { \tt a } _ { 2 } { \mathrm { \Delta } } ^ { 2 }$ ，结合等差数列的求和公式可求 $\ a = 2$ ，然后由 $\mathsf { S } _ { 2 } ^ { \phantom { 2 } 2 } \mathrm { = } \mathsf { S } _ { 1 } \cdot \mathsf { S } _ { 4 } ^ { \phantom { 2 } }$
结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由 ${ \tt s } _ { 3 } { = } { \tt a } _ { 2 } { \mathrm { \Delta } } ^ { 2 }$ 得， ${ \mathsf { a } } _ { 2 } = { \mathsf { a } } _ { 2 } { \mathsf { \Omega } } ^ { 2 }$
$\therefore a _ { 2 } = 0$ 或 $a _ { 2 } = 3$
由题意可得， $\mathtt { S } _ { 2 } ^ { \ 2 } \mathrm { = } \mathtt { S } _ { 1 } \cdot \mathtt { S } _ { 4 }$
$$ \therefore ( 2 a _ { 2 } - d ) ^ { 2 } = ( a _ { 2 } - d ) ( 4 a _ { 2 } + 2 d ) $$
若 $\mathtt { a } _ { 2 } = 0$ ，则可得 ${ \mathsf { d } } ^ { 2 } { \mathsf { = } } { \mathsf { - } } ~ 2 { \mathsf { d } } ^ { 2 }$ 即d=0不符合题意
若 $a _ { 2 } = 3$ ，则可得 $( 6 \div { \mathsf { d } } ) \ ^ { 2 } = \ ( \ 3 \div { \mathsf { d } } )$ ）（12+2d）
解可得d=0或d=2
$\therefore a _ { n } = 3$ 或 $a _ { n } = 2 n - 1$
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题