已知函数f ( × ) = | × + 1 | - | 2…——2016 高考数学第 24 题答案解析

（Ⅰ）由 $f(x) = |x+1| - |2x-3|$，令绝对值内部为0，得分段点 $x=-1$ 和 $x=\frac{3}{2}$。
当 $x \le -1$ 时，$f(x) = -(x+1) - [-(2x-3)] = -x-1+2x-3 = x-4$；
当 $-1 < x < \frac{3}{2}$ 时，$f(x) = (x+1) - [-(2x-3)] = x+1+2x-3 = 3x-2$；
当 $x \ge \frac{3}{2}$ 时，$f(x) = (x+1) - (2x-3) = x+1-2x+3 = -x+4$。
故 $f(x) = \begin{cases} x-4, & x \le -1 \\ 3x-2, & -1 < x < \frac{3}{2} \\ -x+4, & x \ge \frac{3}{2} \end{cases}$。
关键点坐标：$(-1, -5)$，$(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$，以及与 $x$ 轴交点 $(4, 0)$ 和 $(\frac{2}{3}, 0)$。
图象为折线：在 $x \le -1$ 区间过 $(-1, -5)$ 斜率为1的射线；在 $-1 < x < \frac{3}{2}$ 区间连接 $(-1, -5)$ 与 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ 的线段；在 $x \ge \frac{3}{2}$ 区间过 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ 斜率为-1的射线。

（Ⅱ）不等式 $|f(x)| > 1$ 等价于 $f(x) > 1$ 或 $f(x) < -1$。分段讨论如下：

1. 当 $x \le -1$ 时，$f(x) = x-4$。
$|x-4| > 1 \Rightarrow x-4 > 1$ 或 $x-4 < -1$，解得 $x > 5$ 或 $x < 3$。
结合前提 $x \le -1$，取交集得：$x \le -1$。

2. 当 $-1 < x < \frac{3}{2}$ 时，$f(x) = 3x-2$。
$|3x-2| > 1 \Rightarrow 3x-2 > 1$ 或 $3x-2 < -1$，解得 $x > 1$ 或 $x < \frac{1}{3}$。
结合前提 $-1 < x < \frac{3}{2}$，取交集得：$-1 < x < \frac{1}{3}$ 或 $1 < x < \frac{3}{2}$。

3. 当 $x \ge \frac{3}{2}$ 时，$f(x) = -x+4$。
$|-x+4| > 1 \Rightarrow -x+4 > 1$ 或 $-x+4 < -1$，即 $x < 3$ 或 $x > 5$。
结合前提 $x \ge \frac{3}{2}$，取交集得：$\frac{3}{2} \le x < 3$ 或 $x > 5$。

综上所述，将上述各段解集求并集：
$x \in (-\infty, -1] \cup (-1, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{3}{2}) \cup [\frac{3}{2}, 3) \cup (5, +\infty)$
合并连续区间得：$(-\infty, \frac{1}{3}) \cup (1, 3) \cup (5, +\infty)$。