（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆 x ^ 2 +…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【考点】轨迹方程；直线与圆相交的性质

【专题】计算题

【分析】（Ⅰ）由题意P是圆 $\mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 2 5$ 上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且 $| \mathrm { M D } | { = } \frac { 4 } { 5 } | \mathrm { P D } |$ ，利用相关点法即可求轨迹；

（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度

【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为 $( \mathbf { { x _ { p } } } , \mathbf { { y _ { p } } } )$

由已知得： $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { x _ { p } = x } } \\ { \displaystyle \mathbf { y _ { p } = \frac { 5 } { 4 } \mathbf { y } } } \end{array} \right.$

∵P在圆上，

$\bf { x } ^ { 2 } + \ ( \frac { 5 } { 4 } y ) ^ { 2 } = 2 5$ ，即C的方程为 $\frac { { \mathbf { x } } ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { { \mathbf { y } } ^ { 2 } } { 1 6 } = 1$

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 $\frac { 4 } { 5 } \vert$ 的直线方程为： $y = \frac { 4 } { 5 } ( x - 3 )$ 设直线与C的交点为A $( \mathbf { x } _ { 1 } , \ \mathbf { y } _ { 1 } ) \textbf { B } ( \mathbf { x } _ { 2 } , \ \mathbf { y } _ { 2 } )$

将直线方程 $y = \frac { 4 } { 5 } ( x - 3 )$ 代入C的方程，得 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { ( \mathbf { x } - 3 ) ^ { 2 } } { 2 5 } = 1$ 即：
$x ^ { 2 } - 3 x - 8 = 0 \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 - \sqrt { 4 1 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 3 + \sqrt { 4 1 } } { 2 } ,$
∴线段AB的长度为 $| \mathbf { A B } | = { \sqrt { { \left( \mathbf { \mu _ { x _ { 1 } } } - \mathbf { \mu _ { x _ { 2 } } } \right) } ^ { 2 } + { \left( \mathbf { \mu _ { y _ { 1 } } } - \mathbf { \mu _ { y _ { 2 } } } \right) } ^ { 2 } } } = { \sqrt { \left( \mathbf { \sigma _ { 1 + } } { \frac { 1 6 } { \gamma _ { 5 } } } \right) } } { \left( \mathbf { \sigma _ { x _ { 1 } } } - \mathbf { \sigma _ { x _ { 2 } } } \right) } ^ { 2 }$
$= \sqrt { \frac { 4 1 \times 4 1 } { 2 5 } } = \frac { 4 1 } { 5 }$

【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式