已知抛物线 C : x ^ 2 = 2 p y ( p >…——2021 高考数学第 21 题答案解析

【答案】① $p = 2$ ；② $2 0 \sqrt { 5 }$

【解析】

_{【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于}p _{的等式，即可解出}p _的值；

> ②设点 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , P \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出 $\left| A B \right|$ 以及点P到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 $\triangle P A B$ 面积的最大值.

**方法一**：利用二次函数性质求最小值

由题意知， $F { \left( 0 , \frac { p } { 2 } \right) }$ ，设圆M上的点 $N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，则 $x _ { 0 } ^ { 2 } + \left( y _ { 0 } + 4 \right) ^ { 2 } = 1$

所以 $x _ { 0 } ^ { 2 } = 1 - \left( y _ { 0 } + 4 \right) ^ { 2 } \left( - 5 \leq y _ { 0 } \leq - 3 \right)$

从而有 $\mid F N \mid = \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + \left( \frac { p } { 2 } - y _ { 0 } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 - \left( y _ { 0 } + 4 \right) ^ { 2 } + \left( \frac { p } { 2 } - y _ { 0 } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { - ( p + 8 ) y _ { 0 } - 1 5 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } .$

因为 $- 5 \leq y _ { 0 } \leq - 3$ ，所以当 $y _ { 0 } = - 3$ 时， $\mid F N \mid _ { _ { \operatorname* { m i n } } } = \sqrt { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } + 3 p + 9 } = 4$

又 $p > 0$ ，解之得 $p = 2$ ，因此 $p = 2$

**方法二**：【最优解】：利用圆的几何意义求最小值

抛物线C的焦点为 $F \left( 0 , { \frac { p } { 2 } } \right) , \ \left| F M \right| = { \frac { p } { 2 } } + 4$

所以， F 与圆 $M : x ^ { 2 } + ( y + 4 ) ^ { 2 } = 1$ 上点的距离的最小值为 ${ \frac { p } { 2 } } + 4 - 1 = 4$ ，解得 $p = 2$ ；

（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法

抛物线C的方程为 $x ^ { 2 } = 4 y$ ，即 $y = { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } }$ ，对该函数求导得 $y ^ { \prime } { = } \frac { x } { 2 }$

设点 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , P \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$

直线PA的方程为 $y - y _ { 1 } = { \frac { x _ { 1 } } { 2 } } \left( x - x _ { 1 } \right)$ ，即 $y = \frac { x _ { 1 } x } { 2 } - y _ { 1 }$ ，即 $x _ { 1 } x - 2 y _ { 1 } - 2 y = 0$

同理可知，直线PB的方程为 $x _ { 2 } x - 2 y _ { 2 } - 2 y = 0$

由于点P为这两条直线的公共点，则 $\left\{ { \begin{array} { l } { x _ { 1 } x _ { 0 } - 2 y _ { 1 } - 2 y _ { 0 } = 0 } \\ { x _ { 2 } x _ { 0 } - 2 y _ { 2 } - 2 y _ { 0 } = 0 } \end{array} } \right.$

所以，点A、B的坐标满足方程 $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$

所以，直线AB 的方程为 $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$

联立 $\left\{ { { x _ { 0 } } x - 2 y - 2 y _ { 0 } } = 0 \right.$ ，可得 $x ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } x + 4 y _ { 0 } = 0$

由韦达定理可得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 x _ { 0 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = 4 y _ { 0 }$

所以， $\left| A B \right| = { \sqrt { 1 + \left( { \frac { x _ { 0 } } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \cdot { \sqrt { \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } } = { \sqrt { \left( x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 \right) \left( x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \right) } }$

点P到直线AB 的距离为 $d = { \frac { \left| x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \right| } { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 } } }$

所以， $S _ { \triangle P A B } = \frac { 1 } { 2 } \big | A B \big | \cdot d = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \Big ( x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 \Big ) \big ( x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \big ) } \cdot \frac { \Big | x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \Big | } { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 } } = \frac { 1 } { 2 } \big ( x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ,$

$$ \because x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } = 1 - \left( y _ { 0 } + 4 \right) ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } = - y _ { 0 } ^ { 2 } - 1 2 y _ { 0 } - 1 5 = - \left( y _ { 0 } + 6 \right) ^ { 2 } + 2 1 $$

由已知可得 $- 5 \leq y _ { 0 } \leq - 3$ ，所以，当 $y _ { 0 } = - 5$ 时， $\triangle P A B$ 的面积取最大值 ${ \frac { 1 } { 2 } } \times 2 0 ^ { \frac { 3 } { 2 } } = 2 0 { \sqrt { 5 } }$

**方法二**：最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值【

同方法一得到 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 x _ { 0 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = 4 y _ { 0 }$

过P作y轴的平行线交AB 于Q，则 $Q \Bigg ( x _ { 0 } , \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - y _ { 0 } \Bigg )$

$$ S _ { \scriptscriptstyle \Delta P A B } = \frac { 1 } { 2 } | { \cal P } Q | \cdot \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| = \frac { 1 } { 2 } \Biggl ( \frac { 1 } { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } \Biggr ) \cdot \sqrt { 4 x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 6 y _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \bigr ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } . $$

P 点在圆 M 上，则 $\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 0 } = \cos \alpha , } \\ { y _ { 0 } = - 4 + \sin \alpha , } \end{array} \right.$

$$ S _ { \triangle P A B } = \frac { 1 } { 2 } \big ( x _ { 0 } ^ { 2 } - 4 y _ { 0 } \big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \big ( \cos ^ { 2 } \alpha - 4 \sin \alpha + 1 6 \big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \big [ - ( \sin \alpha + 2 ) ^ { 2 } + 2 1 \big ] ^ { \frac { 3 } { 2 } } . $$

故当 $\sin \alpha = - 1$ 时 $\triangle P A B$ 的面积最大，最大值为 $2 0 \sqrt { 5 }$

**方法三**：直接设直线 AB 方程法

设切点A，B的坐标分别为 $A \left( x _ { 1 } , { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } } \right) , B \left( x _ { 2 } , { \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } } \right)$

设 $l _ { _ { A B } } : y = k x + b$ ，联立 $l _ { A B }$ 和抛物线C的方程得 $\left\{ { \begin{array} { l } { y = k x + b , } \\ { x ^ { 2 } = 4 y , } \end{array} } \right.$ 整理得 $x ^ { 2 } - 4 k x - 4 b = 0$

判别式 $\Delta = 1 6 k ^ { 2 } + 1 6 b > 0$ ，即 $k ^ { 2 } + b > 0$ ，且 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 4 k , x _ { 1 } x _ { 2 } = - 4 b$

抛物线C的方程为 $x ^ { 2 } = 4 y$ ，即 $y = { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } }$ ，有 $y ^ { ' } = \frac { x } { 2 }$

则 $l _ { P A } : y - { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } } = { \frac { x _ { 1 } } { 2 } } { \big ( } x - x _ { 1 } { \big ) }$ ，整理得 $y = \frac { x _ { 1 } } { 2 } \cdot x - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 }$ ，同理可得 $l _ { P B } : y = \frac { x _ { 2 } } { 2 } \cdot x - \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 }$

联立方程 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle { y = \frac { x _ { 1 } } { 2 } \cdot x - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } } , } \\ { \displaystyle { y = \frac { x _ { 2 } } { 2 } \cdot x - \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } } } \end{array} \right.$ 可得点P的坐标为 $P { \Bigg ( } { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } , { \frac { x _ { 1 } x _ { 2 } } { 4 } } { \Bigg ) }$ ，即 $P ( 2 k , - b )$

将点P的坐标代入圆M的方程，得 $( 2 k ) ^ { 2 } + ( - b + 4 ) ^ { 2 } = 1$ ，整理得 $k ^ { 2 } = \frac { 1 - ( b - 4 ) ^ { 2 } } { 4 }$

由弦长公式得 $\mid A B \mid = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { 1 6 k ^ { 2 } + 1 6 b ^ { 2 } } .$

点P到直线AB 的距离为 $d = { \frac { \left| 2 k ^ { 2 } + 2 b \right| } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } }$

所以 $S _ { \_ P d B } = \frac { 1 } { 2 } \mid A B \mid d = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 6 k ^ { 2 } + 1 6 b } \cdot \left| 2 k ^ { 2 } + 2 b \right| = 4 \sqrt { \left( k ^ { 2 } + b \right) ^ { 3 } } = 4 \sqrt { \left[ \frac { 1 - \left( b - 4 \right) ^ { 2 } } { 4 } + b \right] ^ { 3 } }$
$= 4 { \sqrt { \left( { \frac { - b ^ { 2 } + 1 2 b - 1 5 } { 4 } } \right) ^ { 3 } } }$
其中 $y _ { P } = - b \in [ - 5 , - 3 ]$ ，即 $b \in [ 3 , 5 ]$
当b = 5时， $\left( S _ { _ { \Delta P A B } } \right) _ { \mathrm { m a x } } = 2 0 \sqrt { 5 }$

【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 FN 关于圆M上的点 $N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ 的坐标的表达式，进一步转化为关于 $y _ { 0 }$ _{的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得}p _{的值；方法二，利用圆的性}质，F 与圆 $M : x ^ { 2 } + ( y + 4 ) ^ { 2 } = 1$ 上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点$A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , P \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程 $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ ，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 x _ { 0 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = 4 y _ { 0 }$ ，利用弦长公式求得 $\left| A B \right|$ 的长，进而得到面积关于 $P \big ( x _ { 0 } , y _ { 0 } \big )$ 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于 $y _ { 0 }$ 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 x _ { 0 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = 4 y _ { 0 }$ ，过P作y轴的平行线交AB 于Q，则$Q \Bigg ( x _ { 0 } , \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - y _ { 0 } \Bigg )$ ．由 $S _ { _ { \triangle P A B } } = \frac { 1 } { 2 } | P Q | \cdot \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right|$ 求得面积关于 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$ 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线 $l _ { _ { A B } } : y = k x + b$ ，联立直线AB和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到 $k ^ { 2 } + b > 0$ ，且 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 4 k , x _ { 1 } x _ { 2 } = - 4 b$ ．利用点P在圆M上，求得k b, 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标P k b(2 , )- ，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；