（本小题满分 12 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12分）（2008•海南）如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连接 $\mathrm{BC}^{\prime}$ ，证明： $\mathrm{BC}^{\prime} \|$ 面 EFG 。

【考点】简单空间图形的三视图；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【专题】计算题；作图题；证明题．
【分析】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，利用转化思想 $\mathrm{V}=\mathrm{V}_{\text {长方体 }}-\mathrm{V}_{\text {正三棱锥，求该多面体的体积；}}$
（3）在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 中，连接 $\mathrm{AD}^{\prime}$ ，在所给直观图中连接 $\mathrm{BC}^{\prime}$ ，证明 $\mathrm{EG}^{\circ} \| \mathrm{BC}^{\prime}$ ，即可证明 $\mathrm{BC}^{\prime} \|$ 面 EFG 。
【解答】解：（1）如图

正视图

侧视图

（2）所求多面体的体积
$\mathrm{V}_{=} \mathrm{V}_{\text {长方体 }}-\mathrm{V}_{\text {正三棱锥 }}=4 \times 4 \times 6-\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2} \times 2 \times 2\right) \times 2=\frac{284}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$
（3）证明：如图，

在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 中，连接 $\mathrm{AD}^{\prime}$ ，则 $\mathrm{AD}^{\prime} \| \mathrm{BC}^{\prime}$
因为 $\mathrm{E}, \mathrm{G}$ 分别为 $\mathrm{AA}^{\prime}, \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 中点，所以 $\mathrm{AD}^{\prime} \| \mathrm{EG}$ ，从而 $\mathrm{EG} \| \mathrm{BC}^{\prime}$ ，
又 EGC 平面 EFG ，所以 $\mathrm{BC}^{\prime} \|$ 平面 EFG ；

【点评】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据。三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视