2015_省自主命题（广东）
18. （本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直， $P D = P C = 4$ $A B = 6$ $B C = 3$ .点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且 $A F = 2 F B$ $C G = 2 G B$
（1）证明： $P E \bot F G$
(2) 求二面角 $P \cdot \ A D \cdot \ C$ 的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
图2
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
（本小题满分14分）
（1)证明：因为 $P D = P C$ ，点E为DC中点，所以 $P E \bot D C$ 又因为平面 $P D C \perp$ 平面ABCD，交线为DC，所以 $P E \perp$ 平面ABCD.又 $F G \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $P E \bot F G$
（2）解：由（1）知， $P E \bot A D$
因为四边形ABCD为长方形，所以 $A D \perp D C$
又因为 $P E \cap D C = E$ ，所以 $A D \perp$ 平面 PDC.
而 $P D \subset$ 平面 PDC，所以 $A D \perp P D$
由二面角的平面角的定义，可知∠PDC为二面角 $P - A D - C$ 的平面角.
在 $R t \Delta P D E$ 中， $P E = \sqrt { P D ^ { 2 } - D E ^ { 2 } } = \sqrt { 7 }$ ，所以 $\tan \angle P D C = \frac { P E } { D E } = \frac { \sqrt { 7 } } { 3 }$
从而二面角 $P - A D - C$ 的正切值为 $\frac { \sqrt { 7 } } { 3 }$
(3) 解：连结AC. 因为 $\frac { A F } { A B } { = } \frac { B G } { B C } { = } \frac { 1 } { 3 }$ ，所以 $F G / / A C$
易求得 $A C = 3 \sqrt { 5 } \ , P A = \sqrt { P D ^ { 2 } + D A ^ { 2 } } = 5$
所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角.
即 $\angle P A C$ ，在 $\Delta P A C$ 中， $\cos \angle P A C = { \frac { P A ^ { 2 } + A C ^ { 2 } - P C ^ { 2 } } { 2 P A \cdot A C } } = { \frac { 9 { \sqrt { 5 } } } { 2 5 } }$
所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为 $\frac { 9 { \sqrt { 5 } } } { 2 5 }$