【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离
【分析】（1）连接 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ ，则O为 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C } .$ 与 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 的交点，证明 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面ABO，可得 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C } \bot$ AB；
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明 $\triangle C B \mathsf { B } _ { 1 }$ 为等边三角形，求出 $\mathsf { B } _ { 1 }$ 到平面ABC的距离，即可求三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的高．
【解答】（1）证明：连接 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ ，则O为 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C } .$ 与 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 的交点，
∵侧面 $\mathsf { B B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 为菱形，
$$
\therefore B C _ { 1 } \bot B _ { 1 } C ,
$$
$\because \mathsf { A O \perp }$ 平面 $\mathsf { B B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$
∴AO⊥B<sub>1</sub>C，
∵AO∩BC<sub>1</sub>=O，
$\therefore B _ { 1 } C \bot$ 平面ABO，
$\because A B \subset$ 平面ABO，
∴B<sub>1</sub>C⊥AB；
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作 ${ \mathsf { O H \bot A D } }$ ，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
$\therefore 0 H \perp$ 平面ABC，
$$
\because \angle C B B _ { 1 } = 6 0 ^ { \circ } ,
$$
$\therefore \triangle C B \mathsf { B } _ { 1 }$ 为等边三角形，
∵BC=1， $\therefore O D = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$
$\because A C \bot A B _ { 1 }$ $\therefore O A = \frac { 1 } { 2 } B _ { 1 } C = \frac { 1 } { 2 }$
由 $0 { \mathsf { H } } { \bullet } { \mathsf { A } } { \mathsf { D } } { = } 0 { \mathsf { D } } { \bullet } 0 { \mathsf { A } }$ ，可得 $A D = \sqrt { O D ^ { 2 } + O A ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } , ~ \therefore O H = \frac { \sqrt { 2 1 } } { 1 4 } ,$
$\because 0$ 为 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C }$ 的中点，
$\therefore \mathsf { B } _ { 1 }$ 到平面ABC的距离为 $\frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 }$
∴三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的高 $\frac { \sqrt { 2 1 } } { 7 }$
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
