（12分）如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABC…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．

【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）设BD与AC
的交点为 O ，连结 EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明 $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ；
（II）通过 $\mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABD}$ 的体积 $\mathrm{V}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求出 AB ，作 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{PB}$ 角 P $B$ 于 $H$ ，说明 $A H$ 就是 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离．通过解三角形求解即可．

【解答】解：（ I ）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O ，连结 EO ，
$\because \mathrm{ABCD}$ 是矩形，
$\therefore \mathrm{O}$ 为 BD 的中点
$\because \mathrm{E}$ 为 PD 的中点，
$\therefore \mathrm{EO} \| \mathrm{PB}$ ．
EOC 平面 $\mathrm{AEC}, \mathrm{PB} \not \subset$ 平面 AEC
$\therefore \mathrm{PB} \|$ 平面AEC；
（II）$\because \mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABD}$ 的体积 $\mathrm{V}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，
$\therefore \mathrm{V}=\frac{1}{6} \mathrm{PA} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AD}=\frac{\sqrt{3}}{6} \mathrm{AB}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{3}{2}, \quad \mathrm{~PB}=\sqrt{1+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$ ．
作 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{PB}$ 交 PB 于 H ，
由题意可知 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 PAB ，
$\therefore \mathrm{BC} \perp \mathrm{AH}$ ，
故 $\mathrm{AH} \perp$ 平面 PBC 。
又在三角形 PAB 中，由射影定理可得： $\mathrm{AH}=\frac{\mathrm{PA} \cdot \mathrm{AB}}{\mathrm{PB}}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$
A 到平面 PBC 的距离 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ．

【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力。