（5分）已知 a, b, c 分别为 A B C 的三个内…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．

【分析】由正弦定理化简已知可得 $2 a-b^{2}=c^{2}-b c$ ，结合余弦定理可求 $A$ 的值，由基本不等式可求 $b c \leq 4$ ，再利用三角形面积公式即可计算得解。

【解答】解：因为：$(2+b)(\sin A-\sin B)=(c-b) \sin C$
$\Rightarrow(2+b)(a-b)=(c-b) c$
$\Rightarrow 2 \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+\mathrm{ab}-\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}$,
又因为：$a=2$ ，
所以：$a^{2}-b^{2}=c^{2}-b c \Rightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c \Rightarrow \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{\pi}{3}$ ，
$\triangle \mathrm{ABC}$ 面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{bcsin} \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{bc}$ ，
而 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$
$\Rightarrow \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}=\mathrm{a}^{2}$
$\Rightarrow \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}=4$
$\Rightarrow \mathrm{bc} \leq 4$
所以：$S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{\sqrt{3}}{4} b c \leqslant \sqrt{3}$ ，即 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ．
故答案为：$\sqrt{3}$ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．