已知 a>0, b>0，且 a+b=1，则——2020 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
已知 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=1$ ，则（ ）
A．$a^{2}+b^{2} \geq \frac{1}{2}$
B． $2^{a-b}>\frac{1}{2}$
C． $\log _{2} a+\log _{2} b \geq-2$
D．$\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

【答案】ABD
【解析】

## 【分析】

根据 $a+b=1$ ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．
【详解】对于 $\mathrm{A}, a^{2}+b^{2}=a^{2}+(1-a)^{2}=2 a^{2}-2 a+1=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$ ，
当且仅当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，故A正确；
对于B，$a-b=2 a-1>-1$ ，所以 $2^{a-b}>2^{-1}=\frac{1}{2}$ ，故B正确；
对于 $\mathrm{C}, \log _{2} a+\log _{2} b=\log _{2} a b \leq \log _{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\log _{2} \frac{1}{4}=-2$ ，
当且仅当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，故C不正确；
对于 D ，因为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=1+2 \sqrt{a b} \leq 1+a+b=2$ ，
所以 $\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ ，当且仅当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养。