## 18．（本小题满分12分） 如图5所示，在正方体 A…——2010 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12分）（2010•湖南）如图所示，在正方体 $\mathrm { A B C D } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 中，E是棱 $\mathrm { D D } _ { 1 }$ 的中点

（Ⅰ）求直线BE与平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ 所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱 $\mathrm { C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 上是否存在一点F，使 $\mathrm { B } _ { 1 }$ F∥平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B E 2 }$ 证明你的结论

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角

【专题】计算题；证明题

【分析】（Ⅰ）先取 $\mathbf { A A } _ { 1 }$ 的中点 $\mathbf { M }$ ，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ ，则 $\mathrm { E M } \perp$ 面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ ，从而BM为直线BE在平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ 上的射影，则∠EBM直线BE与平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ 所成的角，设正方体的棱长为2，则 $\scriptstyle \mathrm { E M } = \mathrm { A D } = 2$ ，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可

（Ⅱ）在棱 $\mathrm { C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 上存在点F，使 $\mathrm { B _ { 1 } F }$ 平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$ ，分别取 $\mathrm { { C } _ { 1 } \mathrm { { D } _ { 1 } } }$ 和CD的中点F，G，连接EG，B$\mathrm { G } , \ \mathrm { C D } _ { 1 }$ ，FG，因 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { D } _ { 1 }$ ∥B₁C₁∥BC，且 $\mathrm { A _ { 1 } D _ { 1 } = B C }$ ，所以四边形 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } \mathbf { C D } _ { 1 }$ 为平行四边形，根据中位线定理可知 $\mathrm { | E G | | A _ { 1 } B }$ ，从而说明 $\mathbf { A } _ { 1 }$ ，B，G，E共面，则BG⊂面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$ ，根据 $\mathrm { F G } \| { \bf C } _ { 1 } { \bf C } \| { \bf B } _ { 1 }$ G，且 $\scriptstyle \mathrm { F G = C } _ { 1 } \mathrm { C = B } _ { 1 } \mathrm { B }$ ，从而得到四边形 $\mathrm { B _ { 1 } B G F }$ 为平行四边形，则 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { F } \Vert \mathrm { B G }$ ，而 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { F } \notin$ 平面 $\mathrm { A _ { 1 } B }$ E， $\mathrm { B G } \subset \cdot$ 平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$ ，根据线面平行的判定定理可知 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { I }$ F∥平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$

【解答】解：（I）如图（a），取 $\mathbf { A A } _ { 1 }$ 的中点M，连接EM，BM，因为E是 $\mathrm { D D } _ { 1 }$ 的中点，四边形 $\mathrm { A D D } _ { 1 } \mathrm { A } _ { 1 }$ ₁为正方形，所以EM∥AD

又在正方体 $\mathrm { A B C D \cdot \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } } }$ 中．AD⊥平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ ，所以EM⊥面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ ，从而BM为直线BE在平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ 上的射影，

∠EBM直线BE与平面 $\mathrm { \ A B B _ { 1 } A _ { 1 } }$ 所成的角

设正方体的棱长为2，则 $\scriptstyle { \mathrm { E M } } = \mathbf { A D } = 2$ $B E { = } \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } { = } 3$

于是在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { B E M }$ 中， $\sin \angle E B M = \frac { E M } { B E } = \frac { 2 } { 3 }$

即直线BE与平面 $\mathrm { A B B } _ { 1 } \mathrm { A } _ { 1 }$ 所成的角的正弦值为 ${ \frac { 2 } { 3 } } .$

（Ⅱ）在棱 $\mathrm { C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 上存在点F，使 $\mathrm { B _ { 1 } F }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B E }$ ，

事实上，如图（b）所示，分别取 $\mathrm { C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 和CD的中点F，G，连接EG，BG， $\mathrm { C D } _ { 1 }$ $\mathrm { F G }$ 因 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { D } _ { 1 } \| \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 } \| \mathbf { B } \mathbf { C }$ ，且 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { D } _ { 1 } \mathrm { { = } } \mathbf { B } \mathbf { C }$ ，所以四边形 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } \mathbf { C D } _ { 1 }$ 为平行四边形，

因此 $\mathrm { D } _ { 1 } \mathrm { C } \| \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B }$ ，又E，G分别为 $\mathrm { D } _ { 1 } \mathrm { D }$ ，CD的中点，所以EG∥ $\mathrm { D } _ { 1 } \mathrm { C }$ ，从而EG∥ $\mathrm { A _ { 1 } B }$ ，这说明 $\mathbf { A } _ { 1 }$ ，B，G，E共面，所以 $\mathrm { B G } \subset$ 平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$

因四边形 $\mathrm { C _ { 1 } C D D _ { 1 } }$ 与 $\mathrm { B _ { 1 } B C C _ { 1 } }$ 皆为正方形，F，G分别为 $\mathrm { C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 和CD的中点，所以 $\mathrm { F G } \| \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } \| \mathbf { B } _ { 1 } \mathbf { B }$ ，且 $\scriptstyle \mathrm { F G = C } _ { 1 } \mathrm { C = B } _ { 1 } \mathrm { B }$ ，因此四边形B BGF为平行四边形，所以 $\mathrm { B } _ { 1 }$ F∥BG，而 $\mathrm { B } _ { 1 }$ F⊄平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$ $\mathrm { B G } \subset$ 平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$ ，故 $\mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { F } \|$ 平面 $\mathrm { A _ { 1 } B E }$

图(a)

图(b)

【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力