2009_quanguo_old_i
9．（5分）已知三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长都相等， ${ \sf A } _ { 1 }$ 在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角的余弦值为（ ）
A $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ B $\frac { \sqrt { 5 } } { 4 }$ C $\frac { \sqrt { 7 } } { 4 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系
【分析】首先找到异面直线AB与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角（如 $1 \angle A _ { 1 } A B )$ ）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 的长度即可；不妨设三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之
【解答】解：设BC的中点为D，连接 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } , \mathsf { A } \mathsf { D } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ ，易知 $\mathsf { \boldsymbol { \theta } } \mathsf { = } \angle \mathsf { \boldsymbol { A } } _ { 1 } \mathsf { \boldsymbol { A } }$ B即为异面直线AB与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角；
并设三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长为1，则 $\left| \mathsf { A D } \right| = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \quad \left| \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \right| = \frac { 1 } { 2 } , \quad \left| \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } \right|$
$$ \scriptstyle = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } . $$
由余弦定理，得 $\cos \theta = \frac { 1 + 1 - \frac { 1 } { 2 } } { 2 } = \frac { 3 } { 4 }$
故选：D
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理