（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体…——2017 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5分）（ $2017 \cdot$ 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18 ，则这个球的体积为 $\_\_\_\_$ $\frac{9 \pi}{2}$。

【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可。

【解答】解：设正方体的棱长为 a ，
∵ 这个正方体的表面积为 18 ，
$\therefore 6 a^{2}=18$ ，
则 $\mathrm{a}^{2}=3$ ，即 $\mathrm{a}=\sqrt{3}$ ，
∵ 一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴ 正方体的体对角线等于球的直径，

即 $\sqrt{3} a=2 R$ ，
即 $\mathrm{R}=\frac{3}{2}$ ，
则球的体积 $\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{9 \pi}{2}$ ；
故答案为：$\frac{9 \pi}{2}$ ．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．