2020_天津卷
16.在 $\triangle A B C$ 中，角A B C, , 所对的边分别为 $^ { a , b , c }$ ．已知 $a = 2 { \sqrt { 2 } } , b = 5 , c = { \sqrt { 1 3 } }$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求sin $\left( 2 A + { \frac { \pi } { 4 } } \right)$ 的值
（Ⅰ） $C = \frac { \pi } { 4 }$ ；（Ⅱ） $\sin A = { \frac { 2 { \sqrt { 1 3 } } } { 1 3 } }$ ；（Ⅲ） $\sin [ 2 A + { \frac { \pi } { 4 } } ] = { \frac { 1 7 { \sqrt { 2 } } } { 2 6 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（Ⅰ） $C = \frac { \pi } { 4 }$ ；（Ⅱ） $\sin A = { \frac { 2 { \sqrt { 1 3 } } } { 1 3 } }$ ；（Ⅲ） $\sin [ 2 A + { \frac { \pi } { 4 } } ] = { \frac { 1 7 { \sqrt { 2 } } } { 2 6 } }$
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出 $\sin A , \cos A ,$ 进一步求出 $\sin 2 A , \cos 2 A$ ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在 $\triangle A B C$ 中，由 $a = 2 { \sqrt { 2 } } , b = 5 , c = { \sqrt { 1 3 } }$ 及余弦定理得
$$ \cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } } = { \frac { 8 + 2 5 - 1 3 } { 2 \times 2 { \sqrt { 2 } } \times 5 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } $$
又因为 $C \in ( 0 , \pi )$ ，所以 $C = \frac { \pi } { 4 }$
（Ⅱ）在 $\triangle A B C$ 中，由 $C = \frac { \pi } { 4 } , a = 2 \sqrt { 2 } , c = \sqrt { 1 3 }$ 及正弦定理，可得 $\sin A = { \frac { a \sin C } { c } } = { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } \times { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 1 3 } } } =$ $\frac { 2 { \sqrt { 1 3 } } } { 1 3 }$ ；
（Ⅲ）由 $a < c$ 知角A为锐角，由 $\sin A = { \frac { 2 { \sqrt { 1 3 } } } { 1 3 } }$ ，可得 $\cos A = { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } A } } = { \frac { 3 { \sqrt { 1 3 } } } { 1 3 } }$
进而 $\sin 2 A = 2 \sin A \cos A = { \frac { 1 2 } { 1 3 } } , \cos 2 A = 2 \cos ^ { 2 } A - 1 = { \frac { 5 } { 1 3 } }$
$$ \sin ( 2 A + { \frac { \pi } { 4 } } ) = \sin 2 A \cos { \frac { \pi } { 4 } } + \cos 2 A \sin { \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { 1 2 } { 1 3 } } \times { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } + { \frac { 5 } { 1 3 } } \times { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } = { \frac { 1 7 { \sqrt { 2 } } } { 2 6 } } $$
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.